- 如何理解堆
堆是完全二叉树；堆中每个节点的值大于等于（或者小于等于）子树中每个节点的值。
- 如何实现堆
下面说的自下而上和自上而下都是禁止操作本身，而不是从全局角度考虑。并且假设数组从下标1开始存储数据。
存储：完全二叉树适合用数组来存储，省去了保存指针，所以比较节省空间。另外，使用数组下标访问父节点和子节点更 方便。
插入（比如大顶堆）：一般在堆的最后位置插入一个元素，需要重新调整，使其满足堆的两个特性（堆化过程）。这里使 用自下而上的方法进行堆化。我们让新插入的点和其父节点进行比较，如果小于父节点则进行交换，一直重复这个过程， 直到路径上的所有父子节点之间满足刚说的那种大小关系。
删除（比如大顶堆）：这里使用自上而下的堆化方法。一般是删除堆顶元素，因为这里堆顶元素是整个堆中值最大的元 素。再将最后一个节点元素放到堆顶，比较父节点和子节点的值大小，如果父节点值小于子节点值则进行交换，一直重复 这个过程，直到路径上的所有父子节点之间满足刚说的那种大小关系。如果最开始只是将根的子节点作比较再放到堆顶位 置，最后数组中很容易就出现了空洞，因为最后删除的是叶子节点，仍然不满足完全二叉树（靠左排列）的特点。
时间复杂度分析：假设树的节点个数为n，完全二叉树的高不超过2为底n的对数（log2n）,堆化是顺着节点路径作的比较 和交换，所以时间复杂度和高度成正比，也就是O(logn)。插入和删除的主要逻辑是堆化过程，所以他们的时间复杂度是 O(logn)。
堆排序：时间复杂度非常稳定，O(nlogn)，还是原地排序算法。
建堆：第一种思路，依据前面所讲的插入方法建堆，起初堆中只有一个数据，从下往上堆化数据。
第二种思路，从最后一个非叶子节点开始，进行堆化操作，依次从数组下标n/2到1的的数据进行堆化。
建堆时间复杂度分析：
每个节点堆化操作，需要比较和交换的节点个数跟该节点高度k成正比。将每个节点的高度求和，就是建堆的 时间复杂度：
=
+
+ ... +
+ ... +
因为h = 2为底的n的对数，并由上一章介绍的加法法则，得出S= O(n)。
排序：建堆结束后，堆顶元素是最大元素，我们将它与最后一个元素交换，那最大元素就在n的位置。再通过堆化方 法将剩余n-1个元素重新构建堆，将堆顶元素与n-1位置元素交换，一直重复这个过程，知道堆中只剩下下标为1的一个元素，排序就完成了。 时间复杂度为O(nlogn)。
堆排序时间复杂度分析：
堆排序由建堆和排序两部分组成，所以时间复杂度即是量级较大者，O(nlogn)。
堆排序稳定性分析：
在排序过程中，因为存在将堆顶元素和最后元素交换的操作，所以有可能改变值相等的元素原始相对顺序。
和快速排序比较：
时间复杂度同样是O(nlogn)快排，性能却更优于堆排序，原因归结为两点：
一是，堆排序的数据访问方式没有快排好。因为快排是顺序访问，而堆排序是跳着访问，对CPU缓存不友好。
二是，同样的数据，在排序过程中堆排序数据交换次数是多于快排的。这点可以使用一个记录交换次数的变 量，每次交换加一，排序完成后，在比较二者的值。
- 堆的应用
上面已经介绍过堆的第一个应用，堆排序，下面将介绍另外三个应用：优先队列、求Top K、求中位数。
1. 优先队列：
数据的出队顺序不是按照先进先出原则，二是按照优先级高的先出队列。堆和优先队列非常相似，一个堆可以看作一个优 先队列，很多时候，堆和优先队列只是概念上的区分。往优先队列中插入一个元素，就是往堆中插入一个元素；同样，从 优先队列中取出一个元素，就是从堆顶取出一个元素。优先队列的应用非常多：赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树 算法等。
例子1、合并有序小文件
假设有100个100M的.txt文件，每个文件存储的都是有序的字符串，希望将100个文件合并成一个有序的大文件，并从数 组中删除。
整体思路有点像归并排序的合并函数，将小文件的第一行字符串读出，放在小顶堆中，那么堆顶元素，也就是优先队列的 首元素， 就是最小的字符串。我们将这个最小字符串放入大文件中，然后从堆中删除，再从小文件中取出下一行字符串 放入到堆中。循环这个过程，最终是将100个小文件合并到有序的大文件中。
例子2、高性能的定时器
假设有个定时器，定时器里面维护了很多个定时任务，每个任务设定了触发执行的时间点。定时器每过很小的单位时间时 间，就扫描一次任务，看是否有任务到达设定的执行的时间。这样势堆必会很低效。
我们可以将这些任务按照执行时间放到优先队列中，位于队首的任务就是最先要执行的任务。将队首任务时间与当前时间 点相减，得到一个时间间隔T。这样，定时器可以设定T时间后，再来执行这个任务。再来重新计算新的队首任务设定执行的时间点与当前时间点的差值，就作为定时器执行下一个任务需要等待的时间。这样定时器的性能也就提高了。
2. 求Top K问题：
这里抽象分为两类：静态数据集合、动态数据集合。
静态数据集合：如何在一个含有n个数据数组中，查找前K大数据呢？ 我们可以维护一个K大小的小顶堆，顺序遍历数 组，从数组中取出元素与堆顶元素比较，如果比堆顶元素大，则先删除掉堆顶元素，再插入到堆中；如果比堆顶小，则先 不做处理。
遍历数组需要O(n)的时间复杂度，一次堆化需要O(logK)的时间复杂度，所以最坏情况下，n个元素都需要入堆一次，时间 复杂度是O(nlogK)。
动态数据集合：求的就是实时Top K，包括两个操作：添加和询问。如果每次询问前K大数据，都针对当前数据进行重新 计算的话，时间复杂度就是O(nlogK)。实际上，我们可以一直维护一个K大小的小顶堆，当有数据添加到集合时，我们就 将这个数据拿来跟堆顶数据比较，如果比堆顶大，将删除掉堆顶数据，在插入到堆中；如果比堆顶数据小，则不需处理。 这样，每次询问时都可以直接给出前K大数据。
3. 求中位数
顾名思义，就是求处在中间位置的数据。如果是奇数，则中间位置是 n/2 + 1；如果是偶数，则中间位置有两个，n/2和 n/2+1，我们可以取前面位置n/2的数据。如果是静态数据，我们可以先排好序，每次询问，我们就直接去中间位置n/2或者n/2+1上的数据。但如果是动态数据，如果每次询问都要先排好序，那效率就不高了。
利用堆这种数据结构，不用排序，就能高效的完成求中位数操作。我们这里需要维护两个堆，大顶堆和小顶堆。大顶堆 是前半部分数据，小顶堆是后半部分数据，且小顶堆中元素都要大于大顶堆中数据。也就是说，情况一，如果有n个数 据，n是偶数，大顶堆就是前n/2个数据，小顶堆就是后n/2个数据，大顶堆的对顶元素就是这个中位数；情况二，如果n是 奇数，大顶堆就是前n/2+1个数据，小顶堆就是后n/2个数据，大顶堆堆顶数据就是这个中位数。
当我们要不停的添加数据到集合中时，可以这样处理：
如果新插入的数据大于等于小顶堆的堆顶元素，则插入到小顶堆，否则插入到大顶堆。如果大顶堆数据个数小于 小顶堆 数据个数，则需将小顶堆堆顶数据移到大顶堆，直到大顶堆数据个数等于或者比小顶堆数据个数大1个，因为我们要满足 大顶堆堆顶数据是中位数。每次插入数据，都要进行堆化操作，时间复杂度O(logn)，询问中位数，直接返回大顶堆堆顶 数据，时间复杂度O(1)。
对这个问题我们可以拓展，还可以求其他百分位的数。比如求99百分位上的数，我们就是求大于前面99%的那位数。我 们维护两个堆，大顶堆和小顶堆。大顶堆是前n*99%的数据，小顶堆是后n*%1的数据，每次插入数据时，如果数据大于 等于小顶堆堆顶数据，则插入小顶堆，否则插入大顶堆。每次插入完之后，都要重新计算大顶堆和小顶堆数据比例是否还 是99:1，如果不满足，我们就需要将一个堆数据移到另一个堆。
4. Top K实际应用举例
假设我们有一个包含有10亿搜索关键词的日志文件，如何能快速获取到热门榜Top 10关键词？
这里设定场景为单机，内存为1GB。因为搜索关键词会有重复关键词，首先要统计搜索关键词出现的频率。这里可以通过 散列表、平衡二叉查找树或者其他一些支持快速查找的、插入的数据结构。这里选用散列表，假设10亿条关键词不重复 的有1亿条，每条关键词长度 50 bytes，总就会有将近5GB内存需求，而散列表为了避免频繁冲突，不会选择太大的装载 因子，所以消耗内存就更多。
我们可以通过哈希算法，将10亿条关键词分片到10个文件中，然后去掉重复关键词，可能就只有1000万条关键词，没条 关键词 50 bytes，将近500MBytes。我们针对每个文件，利用堆和散列表，分别求出Top 10。最后将这10个Top10放到一 起，求出最后一个Top 10，解决了问题。
以上所述，是本人最近在极客时间上学习数据结构和算法相关课程做的笔记吧。
