DFP算法(Davidon-Fletcher-Powell algorithm)一种秩2拟牛顿法.由戴维登(Davidon, W. D.)于1959年导出,并由弗莱彻(Fletcher,R.)和鲍威尔(Powe11,M. J. D.)于1963年进行了改善.
对函数
对上式求导并令其为0,由于
令
求导后得:
在基本牛顿法中,取得最值的点处的导数值为0,即上式左侧为0。则:
求出其中的
从上式中发现,在牛顿法中要求Hesse矩阵是可逆的。
当
此时,是否可以通过
DFP拟牛顿法
DFP拟牛顿法简介
对于拟牛顿方程:
化简可得:
令
在DFP校正方法中,假设:
DFP校正方法的推导
令:
则对于
将
将
已知:
代入上式:
令
则最终的DFP校正公式为:
DFP拟牛顿法的算法流程
设
Armijo搜索准则,搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率,还有其他的一些准则,如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件,此时可以对DFP校正公式做些许改变:
DFP拟牛顿法的算法流程如下:
1. 给定参数
2. 计算
3. 计算搜索方向 :
4. 设
令
5. 由校正公式确定
6. 令
代码:
dfp.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2017年4月25日
@author: zhangdapeng
'''
from numpy import *
from function import *
def dfp(fun, gfun, x0):
result = []
maxk = 500
delta = 0.55
sigma = 0.4
m = shape(x0)[0]
Hk = eye(m)
k = 0
epsilon=1e-10
while (k < maxk):
gk = mat(gfun(x0))#计算梯度
if linalg.norm(gk,1)<epsilon:
break
dk = -mat(Hk)*gk
m = 0
mk = 0
while (m < 20):
newf = fun(x0 + delta ** m * dk)
oldf = fun(x0)
if (newf < oldf + sigma * (delta ** m) * (gk.T * dk)[0,0]):
mk = m
break
m = m + 1
#DFP校正
x = x0 + delta ** mk * dk
sk = x - x0
yk = gfun(x) - gk
if (sk.T * yk > 0):
Hk = Hk - (Hk * yk * yk.T * Hk) / (yk.T * Hk * yk) + (sk * sk.T) / (sk.T * yk)
k = k + 1
x0 = x
result.append(fun(x0))
return result
function.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2017年4月24日
@author: zhangdapeng
'''
from numpy import *
#fun 原始函数
def fun(x):
return 100 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) ** 2 + (x[0,0] - 1) ** 2
#对x1,x2求导后的函数
def gfun(x):
result = zeros((2, 1))
# 对x1求导
result[0, 0] = 400 * x[0,0] * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) + 2 * (x[0,0] - 1)
result[1, 0] = -200 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) #对x2求导
return result
testDFP.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2017年4月25日
@author: zhangdapeng
'''
from dfp import *
import matplotlib.pyplot as plt
x0 = mat([[-1.2], [1]])
result = dfp(fun, gfun, x0)
print(result[-1])
n = len(result)
ax = plt.figure().add_subplot(111)
x = arange(0, n, 1)
y = result
ax.plot(x,y)
plt.show()
输出结果:
1.54074395551e-28
输出图片:
http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/45848439
http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/50534086
http://www.codelast.com/%E5%8E%9F%E5%88%9B%E6%8B%9F%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95quasi-newton%EF%BC%8Cdfp%E7%AE%97%E6%B3%95davidon-fletcher-powell%EF%BC%8C%E5%8F%8Abfgs%E7%AE%97%E6%B3%95broyden-fletcher-goldfarb-shanno/