一、凹凸性
(一) 定义:
y=f(x),(x∈D)
1.
if ∀x1,x2∈D且x1̸=x2.有f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)则称y=f(x)在D内为凹函数
2.
if ∀x1,x2∈D且x1̸=x2.有f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)则称y=f(x)在D内为凸函数
(二)判别法
y=f(x)(x∈D)
1.
if∀x∈I,f′′>0则y=f(x)在I内是凹的
2.
if∀x∈I,f′′<0则y=f(x)在I内是凸的
如:
y=x3
令
y′′=6x=0⇒x=0
当
x∈(−∞,0)时y′′<0.∴y=x3在(−∞,0)内是凸的
当
x∈(0,+∞)时y′′>0.∴y=x3在(0,+∞)内是凹的
二、渐近线
1.水平渐近线
ifx→∞limf(x)=A,y=A为y=f(x)的水平渐近线
2.铅直渐近线
if⎩⎪⎨⎪⎧f(a−0)=∞f(a+0)=∞x→alimf(x)=∞
称x=a为y=f(x)的铅直渐近线
3.斜渐近线
if⎩⎨⎧x→∞limxf(x)=a(a̸=0/∞)x→∞lim[f(x)−ax]=b
称
y=ax+b为斜渐近线
三、弧微分、曲率、曲率半径
基本公式:
弧微分基本公式:
(ds)2=(dx)2+(dy)2
其中:
- 设
L:y=f(x),则ds=1+f′2(x)
dx
- 设
L:{x=φ(t)y=ψ(t),则ds=φ′2(t)+ψ′2(t)
dx
- 设
L:r=r(θ),则ds=r2(θ)+r′2(θ)
dx
曲率计算公式:
k=(1+y′2)23∣y′′∣
曲率半径计算公式:
R=k1