一、凹凸性

（一） 定义：
$y=f(x),(x\in D)$

1. $if\ \forall x_1,x_2 \in D且x_1 \neq x_2.有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}则称y=f(x)在D内为凹函数$

2. $if\ \forall x_1,x_2 \in D且x_1 \neq x_2.有f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}则称y=f(x)在D内为凸函数$

（二）判别法
$y=f(x)(x\in D)$
1. $if \forall x\in I,f''>0则y=f(x)在I内是凹的$
2. $if \forall x\in I,f''<0则y=f(x)在I内是凸的$

如： $y=x^3$
令 $y''=6x=0\Rightarrow x=0$
当 $x\in (-\infty,0)时y''<0.\therefore y=x^3在(-\infty,0)内是凸的$
当 $x\in (0,+\infty)时y''>0.\therefore y=x^3在(0,+\infty)内是凹的$

二、渐近线

1.水平渐近线
$if \underset{x\to \infty}{\lim}f(x)=A,y=A为y=f(x)的水平渐近线$

2.铅直渐近线
$if \begin{cases} f(a-0)=\infty \\ f(a+0)=\infty \\ \underset{x\to a}{\lim}f(x)=\infty \end{cases}$
称x=a为y=f(x)的铅直渐近线

3.斜渐近线
$if \begin{cases} \underset{x\to \infty}{\lim}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq 0/\infty) \\ \underset{x\to \infty}{\lim}[f(x)-ax]=b \end{cases}$
称 $y=ax+b为斜渐近线$

三、弧微分、曲率、曲率半径

基本公式：
弧微分基本公式：

$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$
其中：

• 设 $L：y=f(x),则ds=\sqrt{1+f'^2(x)}dx$
• 设 $L：\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t) \end{cases},则ds=\sqrt{\varphi '^2(t)+\psi '^2(t)}dx$
• 设 $L：r=r(\theta),则ds=\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}dx$

曲率计算公式：
$\LARGE k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径计算公式：

$R=\frac{1}{k}$