Lucas卢卡斯定理

一.什么是lucas定理

​ lucas定理是用来解决组合数取模问题的，即求解
\[ C_n^m\pmod{p} \]
的算法。前提是P为质数。

二.定理本身

​ lucas定理长这个样子
\[ Lucas(n,m,p)=C_{n\%p}^{m\%p}*Lucas(\frac{n}{p},\frac{m}{p},p) \]
长着一副很好看的面孔呢~，取了模以后就直接用逆元进行运算就好。

三.n%p<m%p

​ 由于有取模，我们会有几个特殊的情况。n<m便是其中的一种。很显然的由于n<m，在组合数意义上是不成立的，所以说我们应该是输出0，所以整个Lucas的值也为零，但是这样是正确的吗？显然是的。

​ 为了证明他的正确性，我们首先保证一开始我们要求解的问题有解，即\(n\geq m\),记
\[ \begin{align} &n=k_n*p+r_n\\ &m=k_m*p+r_m\\ \because& r_n<r_m,n\geq m \\ \therefore& n-m>p\\ \because&C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!} \end{align} \]
所以在(n-m)~n或m~n之间必定有一个P的倍数没有被约掉，所以mod P=0

四.非递归形式

​ 当我们看到%p,/p的时候，完全可以换角度去思考这个东西，不断地取余又除，相当于是在不断取出P进制下的最后一位，（我们假装n,m是一个P进制的数），所以说Lucas定理是可以用非递归的写法的。

​ 下面挂一道Luogu的模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,p;
ll inv[100005]={0,1},q1[100005]={1,1},q2[100005]={1,1};
ll ready(ll mod){
    for(int i=2;i<mod;++i){
        q1[i]=(q1[i-1]*i)%mod;
        inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+mod)%mod;
        q2[i]=(q2[i-1]*inv[i]+mod)%mod;
    }
}
ll C(ll a,ll b,ll mod){
    return (q1[a]*q2[a-b]%mod)*q2[b]%mod;
}
ll Lucas(ll a,ll b,ll mod){
    ll res=1;
    while(a&&b){
        int ma=a%mod,mb=b%mod;
        if(ma<mb)return 0;
        res*=C(ma,mb,mod);
        res%=mod;
        a/=mod,b/=mod;
    }
    return res;
}
ll t;
int main(){
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m>>p;
        ready(p);
        cout<<Lucas(n+m,n,p)<<endl;
    }
    return 0;
}