题目链接
不会做的时候看了网上的代码,但是发现他们都没有讲过程由来,这里我就大致的讲一下我和队友推出来的解题思路了。
题目中,给出了一个K和两个字符串,我们现在想要知道的是,在两个字符串中出现长度大于等于K的相等子串这样的匹配对有几个?
首先,考虑相等子串,确确实实的往后缀数组的LCP上想,也就是往height[]上靠,然后呢,就是求解的办法了,先想想看的解决办法,也就是从K~N的枚举所有的长度,我们来看所有的满足该长度的区间,每个区间对答案的贡献就是:(区间内的串1的个数 * 区间内的串2的个数 * (区间height的最小值 - 区间两边的最大值))。
再详细一点。
例如说,我们看到height是{0,1,2,1,2,0},那么,第一个“1”制造的贡献区间是1~2,第一个“2”制造的贡献区间是2~3,第二个“1”会阻拦第一个“2”的区间,把它限制在里面,所以会使得“2”只能贡献与2~3了,并且它所制造的“相同程度为2”的贡献是2~3中的区间串1个数乘以串2个数。如果说被包围的值是Y的时候,周围是“X,Y,Z”,Y本身的贡献就是,(Y-min(X, Y)) * 区间中串1的个数 * 区间中串2的个数。
这样的话,我们确确实实可以说是完成了暴力的做法,该想办法优化了,如果我们能吧优化成,那么,这个问题就可以迎刃而解了。
想一下,我们上面的{0,1,2,1,2,0}是不是可以确定每个值对应的区间范围,第一个“1”的贡献区间范围是可以跟第二个“1”一块合成成[1, 4],第一个“2”的区间贡献范围是[2, 3],第二个“2”的区间贡献范围是[4, 5],不难发现,其中有单调栈的缩影。
也就是,我们现在来维护一个单调上升的(升序的)单调栈(栈底小于栈顶)。那么,如果新进来的点比栈顶小的话,那么栈顶的贡献就可以拎出去算了,因为这时候它的区间已经可以求解了。最后,有一个关键点,我们遇到相等的时候,要么就是弹出之前的,放进现在的,要么就是直接更新栈顶的元素信息——这样做的目的是为了如果后来的比它大的元素(在它之后入栈的元素)的左右区间是正确的。
总结陈词:我们首先就是从维护区间height的角度来展开问题,再来就是对于height性质的拓展,由于他的“区间最小”的性质,我们可以去利用单调栈来降一维来线性时间的解决该问题。
1
INUIS
NISU
ans:6
以上是一组样例
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 2e5 + 7;
struct SA
{
int n, m;
int s[maxN];
int y[maxN], x[maxN], c[maxN], sa[maxN], rk[maxN], height[maxN];
inline void get_SA()
{
for(int i=1; i<=m; i++) c[i] = 0; //桶的初始化
for(int i=1; i<=n; i++) ++c[x[i] = s[i]];
for(int i=2; i<=m; i++) c[i] += c[i - 1]; //利用差分前缀和的思想知道每个关键字最多是在第几名
for(int i=n; i>=1; i--) sa[c[x[i]]--] = i;
for(int k=1; k<=n; k<<=1)
{
int num = 0;
for(int i=n - k + 1; i<=n; i++) y[++num] = i;
for(int i=1; i<=n; i++) if(sa[i] > k) y[++num] = sa[i] - k; //是否可以作为第二关键字
for(int i=1; i<=m; i++) c[i] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) c[x[i]]++; //因为上一次循环已经求出这次的第一关键字了
for(int i=2; i<=m; i++) c[i] += c[i - 1];
for(int i=n; i>=1; i--) //在同一第一关键字下,按第二关键字来排
{
sa[c[x[y[i]]]--] = y[i];
y[i] = 0;
}
swap(x, y);
x[sa[1]] = 1; num = 1;
for(int i=2; i<=n; i++)
{
x[sa[i]] = (y[sa[i]] == y[sa[i - 1]] && y[sa[i] + k] == y[sa[i - 1] + k]) ? num : ++num;
}
if(num == n) break;
m = num;
}
}
inline void get_height()
{
int k = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) rk[sa[i]] = i;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(rk[i] == 1) continue; //第一名的height为0
if(k) k--; //height[i] >= height[i - 1] - 1
int j = sa[rk[i] - 1];
while(j + k <= n && i + k <= n && s[i + k] == s[j + k]) k++;
height[rk[i]] = k;
}
}
inline void clear()
{
n = 0; m = 200;
}
} sa;
int K, len, N_mid, Stop;
char s[maxN];
ll ans;
struct node
{
ll val, pos, cnt_A, cnt_B;
node(ll a=0, ll b=0, ll c=0, ll d=0):val(a), pos(b), cnt_A(c), cnt_B(d) {}
} Stap[maxN];
ll num_AB[2], tmp_AB[2];
inline void solve()
{
Stop = 0;
memset(num_AB, 0, sizeof(num_AB));
for(int i=1; i<=sa.n - 1; i++)
{
if(sa.height[i] < K) //小于K的时候直接算里面的贡献即可
{
while(Stop)
{
tmp_AB[0] = Stap[Stop - 1].cnt_A; tmp_AB[1] = Stap[Stop - 1].cnt_B;
tmp_AB[sa.sa[Stap[Stop - 1].pos] > N_mid] --;
ans += 1LL * (Stap[Stop].val - Stap[Stop - 1].val) * (num_AB[0] - tmp_AB[0]) * (num_AB[1] - tmp_AB[1]);
Stop--;
}
num_AB[sa.sa[i] > N_mid] ++;
Stap[0] = node(K - 1, i, num_AB[0], num_AB[1]);
continue;
}
while(Stop && sa.height[i] < Stap[Stop].val)
{
tmp_AB[0] = Stap[Stop - 1].cnt_A; tmp_AB[1] = Stap[Stop - 1].cnt_B;
tmp_AB[sa.sa[Stap[Stop - 1].pos] > N_mid] --;
ans += 1LL * (Stap[Stop].val - max(Stap[Stop - 1].val, 1LL * sa.height[i])) * (num_AB[0] - tmp_AB[0]) * (num_AB[1] - tmp_AB[1]);
Stop--;
}
num_AB[sa.sa[i] > N_mid] ++;
if(sa.height[i] > Stap[Stop].val) Stap[++Stop] = node(sa.height[i], i, num_AB[0], num_AB[1]);
else if(sa.height[i] == Stap[Stop].val) { Stap[Stop].cnt_A = num_AB[0]; Stap[Stop].cnt_B = num_AB[1]; Stap[Stop].pos = i; }
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &K) && K)
{
sa.clear(); ans = 0;
scanf("%s", s + 1);
len = (int)strlen(s + 1);
for(int i=1; i<=len; i++) sa.s[++sa.n] = s[i];
sa.s[++sa.n] = 'a' + 26;
N_mid = sa.n;
scanf("%s", s + 1);
len = (int)strlen(s + 1);
for(int i=1; i<=len; i++) sa.s[++sa.n] = s[i];
sa.s[++sa.n] = 'a' + 27;
sa.get_SA();
// for(int i=1; i<=sa.n; i++) printf("%d ", sa.sa[i]); puts("");
sa.get_height();
// for(int i=1; i<=sa.n; i++) printf("%d ", sa.height[i]); puts("");
solve();
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
警示语:以后一定要记住单调栈相等元素的处理问题!在这上面犯错了……