如果正确设定模型下的OLS估计为:
Y^=β^0+β^1X1+β^2X2
错误设定模型下的OLS估计结果为
Y~=β~0+β~1X1
那么
β^1与
β~1,β~2有什么关系呢?
我们记
ei为正确设定模型下OLS估计的残差序列,那么必有
∑ei=0,∑eiXi1=0,∑eiXi2=0∑eixi1=0,∑eixi2=0
同时,样本回归模型的随机式可写为如下的离差形式
yi=β^1xi1+β^2xi2+ei
于是,错误设定模型下的OLS估计的斜率项为
β~1=∑xx12∑xi1yi=∑xi12∑xi1(β^1xi1+β^2xi2+ei)=β^1+β^2∑xi12∑xi1xi2