一、题目

生成1~n的全排列

二、解题思路

我们尝试用递归的思想解决：

• 1与1交换，继续求子问题(2,3,...,n)的子问题。
• 2与1交换，继续求子问题(1,3,...,n)的子问题。
• 3与1交换，继续求子问题(2,1,...,n)的子问题。

................................

• n与1交换，继续求子问题(2,3,...,1)的子问题。

这样每个数开头一次，递归求解剩下序列的排序，即可得到n个数的全排列。假如 我们有1,2,3,4，下面我们用上述思想生成1,2,3,4的全排列。

• 首先，1与1交换，在继续求子问题（2,3,4），该子问题又分为三种子问题，一种是2和2交换，继续求子问题（3,4）接下来继续求子问题（3,4），一种是3和3交换，剩下子问题{4}，单独元素，直接返回排列为（1,2,3,4），另一种是4和3交换，剩下子问题{3}， 单独元素，直接返回（1,2,4,3）；另一个是3和2交换，继续求（2,4）的子问题，接下来继续求子问题（2,4），一种是2和2交换，剩下子问题{4}，单独元素，直接返回排列为（1,3,2,4），另一种是4和2交换，剩下子问题{2}， 单独元素，直接返回（1,3,4,2）；最后一种是4和2交换，继续求（3,2）的子问题，接下来继续求子问题（3,2），一种是3和3交换，剩下子问题{2}，单独元素，直接返回排列为（1,4,3,2），另一种是3和2交换，剩下子问题{2}， 单独元素，直接返回（1,4,2,3）。
• 2与1交换，继续求子问题(1,3,4)的子问题。略
• 3与1交换，继续求子问题(2,1,4)的子问题。略
• 4与1交换，继续求子问题(2,3,1)的子问题。略

三、代码编写 

#include <iostream>
#define N 100

using namespace std;

//保存待排列数组
int a[N] = {0};
//记录需要排列元素个数
int length = 0;
//交换数组的两个数，参数为数组索引
void swap(int s,int t){
    int temp = a[t];
    a[t] = a[s];
    a[s] = temp;
}
//index表示从第index开始，计算index到n的的全排列，
//即dfs(1)代表从第一数算起，生成1-n的全排列
void dfs(int index){
    if(index > length){
        for(int i = 1;i <= length ; i++){
            cout<<a[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
        return;
    }
    else{
        for(int i = index ; i <= length ;i++){
            swap(i,index);
            //继续生成index+1到n的全排列
            dfs(index+1);
            //回溯时交换回来
            swap(i,index);
        }
    }
}

int main()
{
    cout << "请输入排列元素个数：" ;
    cin>>length;
    //初始化
    for(int i = 1 ; i<=length ; i++){
        a[i] = i;
    }
    //生成1到length的全排列
    dfs(1);
    return 0;
}

四、运行结果 及分析

此算法运用了交换的思想，但是生成排列并不是按照字典序的排序生成的，细心的读者可以注意到。如果要生成按字典序 生成的全排列请点击这里。此算法也可以解决一些问题，如旅行商问题。稍后我会更新旅行商问题，全排列算法是解决旅行商问题的算法之一。