§6 同态和正规子群

为研究群和群之间的关系、群的性质，同态又是一个重要的性质。

定义1.6.1（同态）

设 $G$ 和 $G'$ 为两个群， $\sigma$ 为群 $G$ 到 $G'$ 的一个映射。若 $\sigma$ 适合条件：
$\sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y), \ x,y \in G,$
称 $\sigma$ 为 $G$ 到 $G'$ 的一个同态映射，或同态。

显见，同构是同态这一概念经过加强后的产物。同构映射必须是双射且对运算保持，而同态映射只需满足对运算保持的性质即可。故知：同构都是同态。相应地，也不难证明同态映射将单位元映到单位元、将逆元映到逆元。

定义1.6.2（象）

当 $\sigma$ 为 $G$ 到 $G'$ 的一个同态，常简记其为
$\sigma :G \mapsto G'.$
若 $\sigma :G \mapsto G'$ ，定义
$\sigma G = \{ \sigma(a) | a \in G \}.$
显然 $\sigma G$ 为 $G'$ 的一个子群，称其为同态 $\sigma$ 的象。

定义1.6.3（满同态，单一同态、嵌入映射）

若映射 $\sigma$ 是满射，则称其为满同态，若其为单射，则称为单一同态或嵌入映射。

定义1.6.4（完全反象，同态的核）

对于同态： $\sigma :G \mapsto G'$ ，对于任一 $\alpha' \in G'$，考虑集合:
$\{ x \in G | \sigma(x) = a'\},$
它可能是空集，也可能包含一个以上的元素，称其为元素 $a'$ 的完全反象，记为 $\sigma^{-1}(a')$。
特别地，单位元素的完全反象称为同态 $\sigma$ 的核，记为 $ker(\sigma)$ 。

定理1.6.1

同态的核是群 $G$ 的子群。

证明

由 $\sigma(e) = e'$ 知： $e \in ker(\sigma)$。 若 $a,b \in ker(\sigma)$，即 $\sigma(a) = \sigma(b) = e'$ ，则 $\sigma(ab^{-1}) = \sigma(a) \sigma(b)^{-1} = e'$.
因此 $ker(\sigma)$ 为 $G$ 的一个子群。 $\blacksquare$

同态的核具有以下性质：

设 $ker(\sigma) = H：$

1. 若 $\sigma(a) = a'$,则 $\sigma^{-1}(a') = aH.$
2. $aH = Ha$，对所有的 $a \in G$.

定义1.6.5（正规子群）

设 $H$ 为群 $G$ 的子群。若对所有元素 $a \in G$ 有 $aH = Ha$，则称 $H$ 为正规子群，记为 $H \triangleleft G$.

根据上面的讨论可以立即得出：同态的核都是正规子群；显然，在交换群中，每个子群都是正规的。