§2 群的定义和性质

定义1.2.1（群）

设非空集合 $G$。若在 $G$ 上定义了一个代数运算，称为乘法，记为 $ab$ ，且它适合以下条件，则称 $G$ 为一个群：

1. $G$ 中元素运算满足结合律：
   设 $a$, $b$, $c$ 为 $G$中任意三个元素，则他们满足： $a(bc) = (ab)c$
2. $G$ 中存在单位元：
   在 $G$ 中有一个元素 $e$ , 对 $G$ 中任一元素 $a$ 满足： $ea = a$
3. 对于 $G$ 中任一元素 $a$ 都存在 $G$ 中一元素 $b$，使得 $ba = e$

例1.2.1

元素在数域 $P$ 中全体 $n$ 级可逆矩阵对于矩阵的乘法成一个群，记为 $GL_{n}(P)$ ，称为 $n$ 级 一般线性群； $GL_{n}(P)$ 中全体行列式为 $1$ 的矩阵对于矩阵乘法也成一个群，记为 $SL_{n}(P)$ ，称为特殊线性群。

下面介绍群 $G$ 的一些基本性质：

1. 若 $ba = e$，则 $ab = e$
2. 若对所有的 $a\in G$ 有 $ea = a$，则也有 $ae = a$，对所有的 $a\in G$。
3. $G$ 中有唯一的元素 $e$ 具有性质 $ea = ae = a$ ，对所有的 $a\in G$ 。
4. 对于群 $G$ 中任一元素 $a$ 有唯一元素 $b$ 使 $ab = ba = e$。
5. 对于群 $G$ 中任意元素 $a, b$，方程 $ax =b$ 在 $G$ 中有唯一解。

注：

1. 对于元素 $a$ ，唯一的具有性质 $ab = ba = e$ 的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元素。若定义运算为加法， $b$ 的逆元素记为 $-b$，称为 $b$ 的负元素。
2. 群的定义中结合律表明群内任意多个元素的乘积和所作运算的顺序无关。由此可以定义元素的方幂： $a^n=a·a···a$（n个）。

定义1.2.2（Abel群，可交换群）

如果群 $G$ 的运算适合交换律，则称 $G$ 为交换群或Abel群。

定义1.2.3（有限群和无限群）

若 $G$ 中含有有限多个元素，称其为有限群；否则称其为无限群。

定义1.2.4（群的阶）

群 $G$ 内元素的个数称为群 $G$ 的阶。