一、概述
回溯法思路 的简单描述:把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示,然后使用深度优先搜索策略进行遍历,遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。
回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树,当算法搜索至解空间树的某一节点时,先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。
(1)如果不可行,则跳过对该节点为根的子树的搜索,逐层向其祖先节点回溯;
(2)如果可行,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。
剪枝函数的作用是避免无效的搜索。包括两类:
- 使用约束函数,剪去不满足约束条件的路径;
- 使用限界函数,剪去不能得到最优解的路径。
当问题是要求满足某种性质(约束条件)的所有解或最优解时,往往使用回溯法。
它有“通用解题法”之美誉。
二、算法实现
回溯法的实现方法有两种:递归和递推(也称迭代)。
1. 递归
思路简单,设计容易,但效率低,其设计范式如下:
//针对N叉树的递归回溯方法
void backtrack (int t)
{
if (t > n)
{
output(x); //叶子节点,输出结果,x是可行解
}
else
{
for i = 1 to k //当前节点的所有子节点
{
x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x
if (constraint(t) && bound(t)) //满足约束条件和限界条件
{
backtrack(t+1); //递归下一层
}
}
}
}
2. 迭代
算法设计相对复杂,但效率高。
//针对N叉树的迭代回溯方法
void iterativeBacktrack ()
{
int t = 1;
while (t > 0) {
if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点
{
for i = 1 to k //遍历当前节点的所有子节点
{
x[t] = value(i); //每个子节点的值赋值给x
if (constraint(t) && bound(t)) //满足约束条件和限界条件
{
//solution表示在节点t处得到了一个解
if (solution(t)) output(x); //得到问题的一个可行解,输出
else t++; //没有得到解,继续向下搜索
}
}
}
else //不存在子节点,返回上一层
{
t--;
}
}
}
三、子集树和排列树
1. 子集树
所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时,相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题,从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包,使得在满足背包不超重的情况下,背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。
回溯法搜索子集树的算法范式如下:
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=0; i<=1; i++) {
x[t]=i;
if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
}
}
2. 排列树
所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题,一个售货员把几个城市旅行一遍,要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列,解空间就是排列树。
回溯法搜索排列树的算法范式如下:
void backtrack (int t)
{
if (t>n) output(x);
else
for (int i=t; i<=n; i++) {
swap(x[t], x[i]);
if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
}
}
四、经典问题
0-1背包问题
问题:给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为pi,背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
分析:问题是n个物品中选择部分物品,可知,问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时,其解空间树如下图,边为1代表选择该物品,边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包,x[i]=0表示不放,x[i]=1表示放入。回溯搜索过程,如果来到了叶子节点,表示一条搜索路径结束,如果该路径上存在更优的解,则保存下来。如果不是叶子节点,是中点的节点(如B),就遍历其子节点(D和E),如果子节点满足剪枝条件,就继续回溯搜索子节点。
#include <stdio.h>
#define N 3 //物品的数量
#define C 16 //背包的容量
int w[N] = {10,8,5}; //每个物品的重量
int v[N] = {5,4,1}; //每个物品的价值
int x[N] = {0,0,0}; //x[i]=1代表物品i放入背包,0代表不放入
int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值
int BestValue = 0; //最优值;当前的最大价值,初始化为0
int BestX[N]; //最优解;BestX[i]=1代表物品i放入背包,0代表不放入
//t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{
//叶子节点,输出结果
if(t > N-1)
{
//如果找到了一个更优的解
if(CurValue > BestValue)
{
//保存更优的值和解
BestValue = CurValue;
for(int i=0; i<N; ++i) BestX[i] = x[i];
}
}
else
{
//遍历当前节点的子节点:0 不放入背包,1放入背包
for(int i=0; i<=1; ++i)
{
x[t] = i;
if(i == 0) //不放入背包
{
backtrack(t+1);
}
else //放入背包
{
//约束条件:放的下
if((CurWeight+w[t]) <= C)
{
CurWeight += w[t];
CurValue += v[t];
backtrack(t+1);
CurWeight -= w[t];
CurValue -= v[t];
}
}
}
//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式,并不够简洁
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
backtrack(0);
printf("最优值:%d\n", BestValue);
for(int i=0; i<N; i++)
{
printf("最优解:%-3d", BestX[i]);
}
return 0;
}
其他回溯法经典问题还包括:
(1)八皇后问题
(2)旅行售货员问题
(3)图的m着色问题