费马小定理(筱玛爱地理)

带模运算的加减乘除分配律:

(a + b)%m==(a%m+b%m)%m

(a - b)%m==(a%m - b%m)%m

(a * b)%m==(a%m * b%m)%m

但是除法就不对了

(a ÷ b)%m≠≠(a%m ÷ b%m)%m

例如: (3 ÷11)%5=3/11

(3%5 ÷ 11%5)%5=3 

逆元:

a ÷ a=1%m ⇒ a * a^{-1}%m

a ÷ b=1%m ⇒ a * b^{-1}%m

费马小定理:

费马小定理的条件是m为素数。

带模除法运算:

(a ÷ b)%m ⇒ 逆元:a * b^{-1}%m ⇒ 费马小定理: a*\frac{1}{b}(modm) ⇒ 化简结果: a*b^{m-2}

一般情况下mod取值为  10^{9}+7

b^{mod-2} 用快速幂计算,时间复杂度O(logn)

long long power_mod(long long a,long long b)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

a*power_mod(b,mod-2)%mod //主函数调用

例题:筱玛爱地理

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/946/A

筱玛是一个热爱地理的好筱玛。最近,在《地理II》作业本上,筱玛学到了“贝塔指数”的概念...

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define mod 1000000007
struct node
{
	long long b,c;
}a[200005];
long long power_mod(long long a,long long b)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
bool cmp(struct node x,struct node y)
{
	return x.c*y.b>x.b*y.c;
}
int main()
{
    int i,j,k,t;
    scanf("%d",&t);
    for(i=0;i<t;i++)
    {
        scanf("%lld %lld",&a[i].b,&a[i].c);
    }
    sort(a,a+t,cmp);
    for(i=0;i<t;i++)
    {
        printf("%lld\n",a[i].c*power_mod(a[i].b,mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}

 

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