扩展欧几里得算法的简单实现
扩展欧几里得算法是欧几里得算法(辗转相除法)的扩展,欧几里得算法可以用于求解两个自然数(记为
a
a
a 和
b
b
b )的最大公约数,而扩展欧几里得算法不仅可以求出
a
a
a 和
b
b
b 的最大公约数,还能同时计算出两个整数
x
x
x 和
y
y
y , 使它们满足等式(等式中的
g
c
d
(
a
,
b
)
gcd(a, b)
g c d ( a , b ) 即表示
a
a
a 和
b
b
b 的最大公约数):
a
x
+
b
y
=
g
c
d
(
a
,
b
)
ax + by = gcd(a, b)
a x + b y = g c d ( a , b )
说到算法步骤的话,扩展欧几里得算法其实是逆向运用了欧几里得算法(辗转相除法)的中间结果,有兴趣的朋友可以看看 wiki 上的计算案例,在此我们简单推导一下用于计算
x
x
x 和
y
y
y 的递推公式,以方便我们编写代码:
首先是基础条件(
b
=
0
b = 0
b = 0 的情况)
g
c
d
(
a
,
0
)
=
a
a
∗
1
+
0
∗
a
n
y
=
g
c
d
(
a
,
0
)
=
a
=
>
{
x
=
1
y
=
0
\begin{aligned} & gcd(a, 0) = a \\ & a * 1 + 0 * any = gcd(a, 0) = a => \\ \end{aligned} \\ \left\{ \begin{aligned} & x = 1 \\ & y = 0 \end{aligned} \right.
g c d ( a , 0 ) = a a ∗ 1 + 0 ∗ a n y = g c d ( a , 0 ) = a = > { x = 1 y = 0
当
b
=
0
b = 0
b = 0 的情况下,我们取
g
c
d
(
a
,
0
)
=
a
gcd(a, 0) = a
g c d ( a , 0 ) = a , 此时
x
=
1
x = 1
x = 1 ,
y
y
y 为任意值 都可满足之前的等式,简单起见,我们取
x
=
1
,
y
=
0
x = 1, y = 0
x = 1 , y = 0 .
现在我们知道基础条件下
x
x
x 和
y
y
y 的取值了,我们看看如何递推求解下一步的
x
x
x 和
y
y
y :
a
x
+
b
y
=
g
c
d
(
a
,
b
)
b
x
′
+
(
a
%
b
)
y
′
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
∵
g
c
d
(
a
,
b
)
=
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
∴
a
x
+
b
y
=
b
x
′
+
(
a
%
b
)
y
′
=
b
x
′
+
(
a
−
⌊
a
/
b
⌋
b
)
y
′
=
a
y
′
+
b
(
x
′
−
⌊
a
/
b
⌋
y
′
)
=
>
{
x
=
y
′
y
=
x
′
−
⌊
a
/
b
⌋
y
′
\begin{aligned} & ax + by = gcd(a, b) \\ & bx' + (a \% b)y' = gcd(b, a \% b) \\ & \because gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \\ & \therefore ax + by = bx' + (a \% b)y' = \\ & bx' + (a - \lfloor a / b \rfloor b)y' = ay' + b(x' - \lfloor a / b \rfloor y') => \end{aligned} \\ \left\{ \begin{aligned} & x = y' \\ & y = x' - \lfloor a / b \rfloor y' \end{aligned} \right.
a x + b y = g c d ( a , b ) b x ′ + ( a % b ) y ′ = g c d ( b , a % b ) ∵ g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b ) ∴ a x + b y = b x ′ + ( a % b ) y ′ = b x ′ + ( a − ⌊ a / b ⌋ b ) y ′ = a y ′ + b ( x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′ ) = > { x = y ′ y = x ′ − ⌊ a / b ⌋ y ′
以上便是
x
x
x 和
y
y
y 的递推公式了,有了递推公式,代码就一目了然了(Lua):
-- return { r, x, y }
function gcd_ex(a, b)
if b == 0 then
-- base condition
return { r = a, x = 1, y = 0 }
else
-- recursion operation
local ret = gcd_ex(b, a % b)
local t = ret.x
ret.x = ret.y
ret.y = t - a // b * ret.y
return ret
end
end
借助之前 的辅助代码,我们就可以简单做测试了:
-- SimplePrintToString is from the previous post
function dump(tbl, depth)
return SimplePrintToString(tbl, depth)
end
print(dump(gcd_ex(47, 30)))
参考资料