网络流

网络

区分两个概念：网络(或者流网络 Flow Network)与网络流(Flow)的概念。

网络是指一个有向图\(G = (V,E)\)。

每条边\((u,v) \in E\) 都有一个权值\(c(u,v)\)，称之为容量，当\((u,v) \notin E\)时有\(c(u,v)=0\)。

其中有两个特殊的点：源点\(s \in V\)和汇点\(t \in V\)，\((s \not= t)\)。

流

设\(f(u,v)\)定义在二元组\((u \in V,v \in V)\) 上的实数函数且满足以下性质：

• 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，\(f(u,v) \leq c(u,v)\)

• 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为0，即\(f(u,v) = -f(v,u)\)

• 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即
  \[ \forall x \in V - (s,t),\sum_{(x,v) \in E}f(u,x) = \sum _{(x,v) \in E}f(x,v) \]

那么\(f\)称为网络\(G\)的流函数。对于\((u,v) \in E,f(u,v)\)称为边的流量，\(c(u,v) - f(u,v)\)称为边的剩余容量。整个网络的流量为\(\sum _{(s,v) \in E}f(s,v)\)，即从源点出发的所有流量之和。

一般而言可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量未必满足上述三个性质。

流函数的完整定义为
\[ f(u,v) = \left\{ \begin{aligned} f(u,v) ,(u,v) \in E \\ -f(v,u),(v,u) \in E \\ 0,(u,v) \notin E,(v,u)\notin E \end{aligned} \right. \]

网络流常见问题

网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流

最大流

我们有一张图，求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的的最大流。

最小费用最大流

最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。

最小割

割就是删边的意思，当然最小割就是删掉\(X\)条边来让\(S\)跟\(T\)不互通，我们要求从\(X\)条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。