大佬的博客
假设有n个数,这n个数能组成的异或和的集合为V,线性基就是能表示这个异或和集合V的最小集合。
线性基的作用:求解异或和第k小、异或和最大值、某个数是否存在于异或和集合里等问题。
洛谷P3812
求异或和的最大值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll a[maxn], b[65], ans;
int n, m;
void prepare() {
int cnt = 0;
memset(b, 0, sizeof(b));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 62; j >= 0; j--) {
if((a[i]>>j)&1) {
if(b[j]) a[i] ^= b[j];
else {
b[j] = a[i]; cnt++;
for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
break;
}
}
}
}
for (int i = 0; i <= 62; i++) ans ^= b[i];
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
prepare();
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
求异或第k小
题目链接
题意
给n个数,每次询问所有数的异或和第k小。
思路
这是关于线性基的一个问题,将所有数建立成一个线性基数组,讲所有线性基中不为0的数从低到高位与k的二进制的低位到高位对应,将所有k的二进制位上不为0的与之对应的线性基异或和就是第k小。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
ll a[maxn], b[65];
int zero, n, m;
vector<ll> v;
void prepare() {
int cnt = 0;
memset(b, 0, sizeof(b));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 62; j >= 0; j--) {
if((a[i]>>j)&1) {
if(b[j]) a[i] ^= b[j];
else {
b[j] = a[i]; cnt++;
for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
break;
}
}
}
}
zero = cnt != n;
v.clear();
for (int i = 0; i <= 62; i++)
if(b[i]) v.push_back(b[i]);
}
ll query(ll x) {
if(zero) x--;
if(x >= (1ll<<v.size())) return -1;
ll ans = 0;
for (int i = 0; i < v.size(); i++)
if((x>>i)&1) ans ^= v[i];
return ans;
}
int main()
{
int tt;
scanf("%d", &tt);
for (int t = 1; t <= tt; t++) {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lld", &a[i]);
zero = 0;
prepare();
scanf("%d", &m);
printf("Case #%d:\n", t);
while (m--) {
ll x;
scanf("%lld", &x);
printf("%lld\n", query(x));
}
}
return 0;
}
求异或和是第几小
bzoj2844
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
typedef long long ll;
const int mod = 10086;
ll a[maxn], b[65];
int n, cnt;
vector<int> v;
void prepare() {
memset(b, 0, sizeof(b));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 62; j >= 0; j--) {
if((a[i]>>j)&1) {
if(b[j]) a[i] ^= b[j];
else {
b[j] = a[i]; cnt++;
for (int k = j - 1; k >= 0; k--)
if(b[k] && ((b[j] >>k)&1)) b[j] ^= b[k];
for (int k = j + 1; k <= 62; k++)
if((b[k]>>j)&1) b[k] ^= b[j];
break;
}
}
}
}
}
ll qpow(ll a, ll b) {
ll ans = 1;
a = a % mod;
while (b) {
if(b&1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b = b >> 1;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
prepare();
for (int i = 0; i <= 62; i++)
if(b[i]) v.push_back(i);
ll q;
scanf("%lld", &q);
ll rk = 0;
for (int i = 0; i < v.size(); i++)
if(q>>v[i]&1) rk += 1 << i;
//求出的rk其实是rank(q)-1,因为可以有空集,所以一定有0,线性基里是没有0的,所以rk就是rank(q)-1.
printf("%lld\n", (qpow(2, n - cnt) * (rk) % mod + 1)%mod);
}