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Lindström–Gessel–Viennot lemma
想学习这个定理请看:https://blog.csdn.net/Shinaria/article/details/81133316
这个定理讲的东西貌似比较广泛…这题只用到一种特殊情形
就是 上要求 这 对(起点,终点)的不相交路径方案数,就等于
先看只有 怎么做
我可以建立这样的模型: 的点阵,坐标为 ,其中 ,我要找这样的路径:起点的 坐标为 ,终点的 坐标为
这样要枚举起点和终点,有点烦,我在最下面添加 的一行,右边添加 的一列,那么就变成 到 的路径方案数
再看 怎么做
找两条路径,都从 到 ,两条路径在某些点可以相交,但是不能穿过,这个还没法用上面的引理。
转化一下,把靠上的那条路径往左上方移动,那这个时候就 了,
直接算二阶行列式就行了
代码
#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 1000010
#define maxe 1000010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(_,__) for(_=1;_<=(__);_++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
ll c, f(1);
for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
return f*x;
}
struct EasyMath
{
ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];
bool mark[maxn];
ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
{
ll t(a%c), ans(1ll);
for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
return ans;
}
void shai(ll N)
{
ll i, j;
for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
*prime=0;
phi[1]=mu[1]=1;
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;
for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
{
mark[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
ll inv(ll x, ll p) //p是素数
{return fastpow(x%p,p-2,p);}
}em;
#define mod 1000000007ll
char T[maxn];
ll ans, n, m, fact[maxn], _fact[maxn];
ll C(ll n, ll m)
{
return fact[n]*_fact[m]%mod*_fact[n-m]%mod;
}
ll calc(ll x1, ll y1, ll x2, ll y2)
{
ll dx=abs(x1-x2), dy=abs(y1-y2);
return C(dx+dy,dx);
}
int main()
{
ll i, j, n, m;
fact[0]=_fact[0]=1;
rep(i,1e6)fact[i]=fact[i-1]*i%mod, _fact[i]=em.fastpow(fact[i],mod-2,mod);
while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
{
ll ans = calc(0,1,n,m+1) * calc(1,0,n+1,m) - calc(0,1,n+1,m) * calc(1,0,n,m+1);
ans = (ans%mod+mod) %mod;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}