无理数
e,又称自然常数,是一个人为定义的数,约等于2.71828,我们在很多地方都能看到它的身影,如欧拉方程、自然对数中等等。
定义
e的定义式为:
x→∞lim(1+x1)x=e该式是两个重要极限中的其中一个,要理解该定义式的由来,就不得不先介绍一下指数增长模型
指数增长模型
指数增长模型可以用单细胞生物的二分裂来做形象的解释:已知细胞在1个增长周期内分裂一次,则分裂后的细胞总数为分裂前的两倍:
N分裂后=2∗N分裂前若在初始细胞数量为1的情况下,经过
x个分裂周期,则细胞总数(设为
Q)将会达到
21∗22∗...∗2x=2x个,表达为:
Q=2x已知细胞初始数量为1,且每个周期的增长率为
100%,因此上式亦可写做:
Q=(1+100%)x这便是单细胞生物二分裂的指数增长模型
当该式应用在描述更广泛的事物的增长规律时,其增长率通常不会是
100%,因此我们用一个未知数
r来代替增长率,这样就得到了更一般的指数增长模型:
Q=(1+r)x其含义是:某个事物在一个周期内的增长率为
r,在增长
x个周期之后,其总数量是原始数量的
Q倍
定义式的由来
为了更加生动的解释为什么定义式
limx→∞(1+x1)x等于
e,这里引入经济学中的复利率概念:
- 复利率:是指利息除了会根据本金计算得到外,新得到的利息同样可以生息的一种利息计算方式。
假设有一银行采用复利率的方式来计算利息,你希望在该银行存1元钱本金1年,银行的年利率(增长率)为100%。这样假设的目的是为了得到更一般的公式,其他情况皆可由一般公式变换得到其特殊公式。
若你没有注意到该银行采用复利率来计算利息,则你很可能会直接存够一年,这样的话一年后你将会得到
Q=(1+r)x=(1+100%)1=2元的本金加利息
可是你足够仔细,注意到了银行的利息计算方式为复利率,于是你便想尽可能多的在这一年中取出本息再全部存入,以获得更多的回报,于是你计算了一下
- 假设每半年便取出一次,则由于存款时间只有原来的
21,因此利率只能看做年利率的
21。
1年后这种方法得到的本息为:
Q=(1+r)x=(1+2100%)2=2.2500元
- 假设每三个月便取出一次,则由于存款时间只有原来的
41,因此利率只能看做年利率的
41。
1年后这种方法得到的本息为:
Q=(1+r)x=(1+4100%)4=2.4414元
- 假设每个月便取出一次,则由于存款时间只有原来的
121,因此利率只能看做年利率的
121。
1年后这种方法得到的本息为:
Q=(1+r)x=(1+12100%)12=2.6130元
根据这个思路进行了大量的迭代运算后得到下图:
可以看到随着交付次数的增加,1年后得到的本息总额也在增加。然而,这种增加是收敛的,它有一个不可逾越的顶点:
2.71828182845...,这就是增长的极限,命名为
e。
计算复利率的过程进行到这里,
e的定义式已经呼之欲出,就是重要极限之一的:
x→∞lim(1+x1)x=e