由联结词和多个命题常项可以组成复合命题,若是有联结词和多个命题变项则可以组成命题公式。更具体的说,命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号组成的特殊符号串,通常用大写字母表示。
命题公式的严格定义
- 单个命题变项 是命题公式
- 多个命题公式通过联结词有限次的组合而成的符号串是命题公式
在命题逻辑中命题公式又称合式公式,简称为公式。
命题公式的层次
命题公式的层次是命题公式的重要概念之一,有利于描述命题公式的求解过程。
定义:
- 若命题公式 是单个命题常项或命题变项,则称 是0层公式
- 若命题公式 是有其他命题公式通过联结词组合而成的。设组成 的所以命题公式中层次最高命题公式的层次为 ,则称 的层次为
命题公式的赋值(解释)及真值表
定义:
设
为一个命题公式
为
中出现的所有命题变项,则给
指定一组真值的行为,称为对
的赋值(解释)。若指定的一组值使
的值为真,则称这组值为
的成真赋值;若使
的值为假,则称这组值为
的成假赋值。
一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的,只有对它的每个命题变项都用指定的命题常项代替后,其真值才唯一确定,命题公式也才能被称为一个命题。
含有
个命题变项的命题公式共有
组赋值。
将命题公式
在所有赋值之下的取值情况列成表,则称该表为
的真值表。构造真值表的步骤如下:
- 将命题公式中的所有命题变项按从左到右的出现顺序列出(有脚标则按脚标顺序)
- 将所有可能赋值赋给命题变项,从00…0开始,每次加1,直到11…1为止(即以二进制渐增的方式赋值)
- 对应的每个赋值公式都计算出其命题公式各层次的值
举例:
列出命题公式
的真值表
0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
命题公式的分类
定义:
设
为一个命题公式
- 若 在所有赋值下取值均为真,则称 为重言式(永真式)
- 若 在所有赋值下取值均为假,则称 为矛盾式(永假式)
- 若 至少存在一组成真赋值,则称 是可满足式
根据在各种赋值下的取值情况,所有的命题公式都可以分为以上三类。并且根据定义我们可以知道,重言式一定是可满足式,反之不真。
举例:
求命题公式
是哪种类型的命题公式。
解:画出真值表
0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
由真值表可知命题公式 为一个重言式
真值函数
定义:
一个
阶笛卡尔积
到
的函数称为一个
元真值函数,
元真值函数
记为
个命题变项的真值表实际上是给出 到 的一个对应关系,这就是真值函数。 个命题变项,共有 个可能的赋值。对于每个赋值,真值函数的函数值非0即1。于是 个命题变项共可以组成 个不同的真值函数。其中每一个真值函数都对应一个真值表,同时也对应着无穷个命题公式,这些公式彼此都是等值的,它们中的每一个都是这个真值函数的一个表达式。
例如,含有两个命题变项 的真值函数共有16个函数值。
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |