LeetCode-382：Linked List Random Node (随机返回链表结点)

题目：

Given a singly linked list, return a random node’s value from the linked list. Each node must have the same probability of being chosen.

Follow up:
What if the linked list is extremely large and its length is unknown to you? Could you solve this efficiently without using extra space?

例子:

Example:

// Init a singly linked list [1,2,3].
ListNode head = new ListNode(1);
head.next = new ListNode(2);
head.next.next = new ListNode(3);
Solution solution = new Solution(head);

// getRandom() should return either 1, 2, or 3 randomly. Each element should have equal probability of returning.
solution.getRandom();

问题解析：

设计一个类，该类能够实现随机返回链表中的一个结点。如果链表的结点数量非常的多，或者其长度是未知的，或者结点是从一个流中出现的，则如何做到以同样的概率随机返回一个结点的值。

链接：

LeetCode：https://leetcode.com/problems/linked-list-random-node/description/

思路标签

蓄水池算法

解答：

从题目可知，该问题是蓄水池算法的特例：只随机返回一个值；
对于常规的随机算法，我们使用语言自带的随机函数即可实现；但是对于数量居多无法实现内存加载、值从流中输入长度未知的情况，我们无法做到先统计数量再使用随机函数实现，所以就会用到蓄水池算法。
在序列流中取一个数，确保随机性：
- 假设已经读取n个数，现在保留的数是 $A_{x}$ ，取到 $A_{x}$ 的概率为(1/n)；
- 对于第n+1个数 $A_{n+1}$ ，以1/(n+1)的概率取 $A_{n+1}$ ，否则仍然取 $A_{x}$ 。依次类推，可以保证取到数据的随机性。
- 数学归纳法证明如下：
  - 当n=1时，显然，取A1。取A1的概率为1/1。
  - 假设当n=k时，取到的数据 $A_{x}$ 。取 $A_{x}$ 的概率为1/k。
  - 当n=k+1时，以1/(k+1)的概率取 $A_{n+1}$ ，否则仍然取Ax。
  - (1)如果取 $A_{n+1}$ ，则概率为1/(k+1)；
  - (2)如果仍然取 $A_{x}$ ，则概率为(1/k)*(k/(k+1))=1/(k+1)；（相当于在取 $A_{x}$ 的基础上，不取 $A_{n+1}$ ）
所以，对于所有流入的数，均是以1/(n+1)的概率取到，都是等概率的。
数据流取一个数的代码：

//在序列流中取一个数，保证均匀，即取出数据的概率为:1/(已读取数据个数)
void RandNum(){    
    int res=0;
    int num=0;
    num=1;
    cin>>res;

    int tmp;
    while(cin>>tmp){
        if(rand()%(num+1)+1>num)
            res=tmp;
        num++;
    }
    cout<<"res="<<res<<endl;
}

在序列流中取k个数，确保随机性
- 建立一个数组，将序列流里的前k个数，保存在数组中。(也就是所谓的”蓄水池”)
- 对于第n个数 $A_n$ ，以k/n的概率取 $A_n$ 并以1/k的概率随机替换“蓄水池”中的某个元素；否则“蓄水池”数组不变。依次类推，可以保证取到数据的随机性。
- 数学归纳法证明如下：
  - 当n=k时，显然“蓄水池”中任何一个数都满足，保留某个数的概率为k/k=1；
  - 假设当n=m(m>k)时，“蓄水池”中每个元素被采样的概率等于k/m；
  - 那么对于第m+1个元素，其被抽样的概率为k/(m+1)；
  - 对于已经在蓄水池中的m个元素，每个元素被抽样的概率由两部分组成:
    - (1) 如果第m+1个元素未被采样，则此部分的概率为(k/m)∗(1−k/(m+1))；
    - (2) 如果第m+1个元素被采样，但是在蓄水池中的元素未被第m+1个元素替换，则此部分概率为：(k/m) ∗ (k/(m+1)) ∗ (k−1/k)
  - 将上面的两部分相加，即得蓄水池算法池中已有元素被抽样的概率为：

\frac{k}{m} ∙ (1 - \frac{k}{m + 1}) + \frac{k}{m} ∙ \frac{k}{m + 1} ∙ \frac{k - 1}{k} = \frac{k}{m + 1}

$\frac{k}{m} \bullet (1 - \frac{k}{{m + 1}}) + \frac{k}{m} \bullet \frac{k}{{m + 1}} \bullet \frac{{k - 1}}{k} = \frac{k}{{m + 1}}$

所以，对于流入的m+1个数，均是以k/(m+1)的概率取任意一个数，都是等概率的。
随机选取k个数的代码：

//在序列流中取n个数，保证均匀，即取出数据的概率为:n/(已读取数据个数)
void RandKNum(int n){
    int *myarray=new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>myarray[i];

    int tmp=0;
    int num=n;
    while(cin>>tmp){
        if(rand()%(num+1)+1<n)    
            myarray[rand()%n]=tmp;
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<myarray[i]<<endl;
}

本题未知长度链表List的解法：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    /** @param head The linked list's head.
        Note that the head is guaranteed to be not null, so it contains at least one node. */
    Solution(ListNode* head) head(head), listSize(0){
    }

    /** Returns a random node's value. */
    int getRandom() {
        int res = head->val;
        ListNode* pNode = head->next;
        int i = 2;
        while(pNode != nullptr){
            int j = rand()%i;
            if(j == 0)
                res = pNode->val;

            pNode = pNode->next;
            i++;
        }
        return res;
    }

private:
    ListNode* head;
    int listSize;
    int random(int x){
        return rand()%x;
    }
};

/**
 * Your Solution object will be instantiated and called as such:
 * Solution obj = new Solution(head);
 * int param_1 = obj.getRandom();
 */