在信号系统中，我们知道，想要分析一个信号的频谱，只需要对这个信号进行Fourier变换，就可以得到该信号的幅度谱和相位谱.但是不幸的是，Fourier变化并不好算，所以能不能用计算机去计算呢？

人工计算的方法只适用于连续时间信号¹，而计算机只能处理有限个采样点,所以我们首先要将连续时间信号转化为离散时间信号.
根据采样定理，我们选择合适的抽样频率以确保没有频谱混叠.
对信号处理完之后,再考虑如何进行Fourier变换

对离散序列的Fourier变换(DTFT)
$X(e^{j\omega}) = \sum_{-\infty}^\infty x(n) e^{-j\omega n}$
可见,虽然时域离散,但是频域上 $\omega$的取值仍然是连续的,也就是说计算机依然无法处理这样的频谱信息,我们需要进一步将频谱离散化处理.
考虑到周期函数的频谱为基频+k次谐波,所以对频谱离散可以从周期函数下手.
若现有一离散周期序列,周期为N,那么其k次谐波分量 $X(k)$为 $e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$.随着k的变换,我们不难发现,看似无穷的频率分量中,只有N个分量是独立的,也就是说频率分量呈周期性变化
$e^{j\frac{2\pi}{N}(k+rN)n} = e ^{j\frac{2\pi}{N} kn}$
所以对周期序列的Fourier级数展开，我们就得到一个只有N个频率分量的离散频谱.
但实际中,很多函数都不是周期的,又该怎么得到离散频谱表示呢?

对于非周期序列，我们就要想办法转化为周期序列.方法也很简单,对非周期序列截短,再进行周期延拓.所谓的离散Fourier变换 DFT就是对非周期序列变换后得到周期列序的主值区间进行Fourier变换

说到这里，不知道你们会不会DFT变换的等价性产生疑问：这样离散频谱表示是否包含原信号的全部信息？
那必然不全，无论是截短近似，还是舍弃周期序列的高次谐波分量，都丢失了一部分频谱信息，因此也导致一些问题.