什么是堆
优先队列(Priority Queue):特殊的“队列”,取出元素的顺序是依照元素的优先权(关键字)大小,而不是元素进入队列的先后顺序。
若采用数组或链表实现优先队列
数组 :
插入 — 元素总是插入尾部 ~
( 1 )
删除 — 查找最大(或最小)关键字 ~
( n )
从数组中删去需要移动元素 ~ O( n )
链表:
插入 — 元素总是插入链表的头部 ~
( 1 )
删除 — 查找最大(或最小)关键字 ~
( n )
删去结点 ~
( 1 )
有序数组:
插入 — 找到合适的位置 ~ O( n ) 或 O(
n )
移动元素并插入 ~ O( n )
删除 — 删去最后一个元素 ~
( 1 )
有序链表:
插入 — 找到合适的位置 ~ O( n )
插入元素 ~
( 1 )
删除 — 删除首元素或最后元素 ~
( 1 )
是否可以采用二叉树存储结构?
二叉搜索树? 一直删除最大的结点导致树变斜,不能采用
如果采用二叉树结构,需要做两个操作:插入任何结点、删除最大值,其中更应关注删除最大值(因为更难做)。可以考虑将树构造成 将最大值放在树根,删除最大值就将根结点拿掉,这就是最大堆。使用完全二叉树存储。
优先队列的完全二叉树表示
堆的两个特性
- 结构性:用数组表示的完全二叉树;
- 有序性:任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)
“最大堆(MaxHeap)”,也称“大顶堆”:最大值
“最小堆(MinHeap)”,也称“小顶堆” :最小值
【例子】:
最大堆:
最小堆:
不是堆:
不是完全二叉树
不满足根结点是最大的/最小的
注意:从根结点到任意结点路径上结点序列的有序性!
堆的抽象数据类型描述
类型名称:最大堆(MaxHeap)
数据对象集:完全二叉树,每个结点的元素值不小于其子结点的元素值
操作集:最大堆H
MaxHeap,元素item
ElementType,主要操作有:
•MaxHeap Create( int MaxSize )
:创建一个空的最大堆。
•Boolean IsFull( MaxHeap H )
:判断最大堆H是否已满。
•Insert( MaxHeap H, ElementType item )
:将元素item插入最大堆H。
•Boolean IsEmpty( MaxHeap H )
:判断最大堆H是否为空。
•ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
:返回H中最大元素(高优先级)。
最大堆的操作
创建
typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct {
ElementType *Elements; /* 存储堆元素的数组 */
int Size; /* 堆的当前元素个数 */
int Capacity; /* 堆的最大容量 */
};
MaxHeap Create( int MaxSize )
{
/* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
MaxHeap H = malloc( sizeof( struct HeapStruct ) );
H->Elements = malloc( (MaxSize+1) * sizeof(ElementType));
H->Size = 0;
H->Capacity = MaxSize;
H->Elements[0] = MaxData;
/* 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值,便于以后更快操作 */
return H;
}
插入
算法:将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中
void Insert( MaxHeap H, ElementType item )
{
/* 将元素item 插入最大堆H, 其中H->Elements[0]已经定义为哨兵 */
int i;
if ( IsFull(H) ) {
printf("最大堆已满");
return;
}
i= ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
for ( ; H->Elements[i/2] < item; i/=2 )
H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; /* 向下过滤结点 */
H->Elements[i] = item; /* 将item 插入 */
}
我们设置H->Element[ 0 ] 是哨兵元素,它不小于堆中的最大元素,控制循环结束。
时间复杂度T(N) =
N (树的高度)
删除
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素, 并删除一个结点 */
int Parent, Child;
ElementType MaxItem, temp;
if ( IsEmpty(H) ) {
printf("最大堆已为空");
return;
}
MaxItem = H->Elements[1]; /* 取出根结点最大值 */
/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
temp = H->Elements[H->Size--];
for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
Child = Parent * 2;
if( (Child!= H->Size) &&(H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]) )
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if( temp >= H->Elements[Child] )
break;
else /* 移动temp元素到下一层 */
H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];
}
H->Elements[Parent] = temp;
return MaxItem;
最大堆的建立
建立最大堆: 将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中
方法1: 通过插入操作,将N个元素一个个相继插入到一个初
始为空的堆中去,其时间代价最大为O(N logN)。
方法2: 在线性时间复杂度下建立最大堆。
(1)将N个元素按输入顺序存入,先满足完全二叉树的结构特性
(2)调整各结点位置,以满足最大堆的有序特性。
完整代码
typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
struct HNode {
ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */
int Size; /* 堆中当前元素个数 */
int Capacity; /* 堆的最大容量 */
};
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */
#define MAXDATA 1000 /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
MaxHeap CreateHeap( int MaxSize )
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));
H->Size = 0;
H->Capacity = MaxSize;
H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
return H;
}
bool IsFull( MaxHeap H )
{
return (H->Size == H->Capacity);
}
bool Insert( MaxHeap H, ElementType X )
{ /* 将元素X插入最大堆H,其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
int i;
if ( IsFull(H) ) {
printf("最大堆已满");
return false;
}
i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )
H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */
H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
return true;
}
#define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */
bool IsEmpty( MaxHeap H )
{
return (H->Size == 0);
}
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素,并删除一个结点 */
int Parent, Child;
ElementType MaxItem, X;
if ( IsEmpty(H) ) {
printf("最大堆已为空");
return ERROR;
}
MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
Child = Parent * 2;
if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
return MaxItem;
}
/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown( MaxHeap H, int p )
{ /* 下滤:将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
int Parent, Child;
ElementType X;
X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
Child = Parent * 2;
if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
}
void BuildHeap( MaxHeap H )
{ /* 调整H->Data[]中的元素,使满足最大堆的有序性 */
/* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
int i;
/* 从最后一个结点的父节点开始,到根结点1 */
for( i = H->Size/2; i>0; i-- )
PercDown( H, i );
}