链接：[SCOI2010] 股票交易

题意

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来 $T$天内某只股票的走势，第 $i$天的股票买入价为每股 $AP_i$，第 $i$天的股票卖出价为每股 $BP_i$（数据保证对于每个 $i$，都有 $AP_i \ge BP_i$），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第 $i$天的一次买入至多只能购买 $AS_i$股，一次卖出至多只能卖出 $BS_i$股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 $W$天，也就是说如果在第 $i$天发生了交易，那么从第 $i+1$天到第 $i+W$天，均不能发生交易。

同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过 $\text{MaxP}$。

在第 $1$天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然， $T$天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

$0\leq W<T\leq 2000$
$1\leq\text{MaxP}\leq2000$
$1\leq BP_i\leq AP_i\leq 1000$
$1\leq AS_i,BS_i\leq\text{MaxP}$

分析

dp状态并不难想，以 前 $i$天 作为 阶段，以 第 $i$天结束时持有 $j$股 为 状态，可得：

$F(i,j)$：表示第 $i$天结束时持有 $j$股的最大总收益


共有 $3$种状态转移的情况：

1. 第 $i$天不进行任何交易；
2. 第 $i$天买入 $j-k$股，由于交易需间隔 $W$天，故对应 $F(i-W-1,k)$，因为 $0\lt j-k\le AS_i$，所以 $j-AS_i\le k\lt j$；
3. 第 $i$天卖出 $k-j$股，由于交易需间隔 $W$天，故对应 $F(i-W-1,k)$，因为 $0\lt k-j\le BS_i$，所以 $j\lt k\le j+BS_i$；

状态转移方程：
$F(i,j)=\begin{cases} F(i-1,j)\\ \max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{F(i-W-1,k)-(j-k)*AP_i\}\\ \max\limits_{j\lt k\le j+BS_i}\{F(i-W-1,k)+(k-j)*BP_i\} \\\end{cases}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\le i\le T,0\le j\le \text{MaxP}$
初值： $F(0,0)=0$，其余均为 $-\infin$；
目标： $\max\limits_{0\le j\le \text{MaxP}}\{F(T,i)\}$；

直接采用三重循环的时间复杂度会达到 $O(T\cdot\text{MaxP}^2)$，故需要对其进行优化，显然状态转移方程的②式和③式满足单调队列优化的条件 （1D/1D动态规划优化），当固定阶段 $i$时，有：

1. 决策 $k$的上下边界是关于状态 $j$的一次函数；
2. 除 $F(i-W-1,k)$外的冗余部分是关于 $j$和 $k$的一次函数

以②式为例， $F(i,j)=\max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{F(i-W-1,k)-(j-k)*AP_i\}$

可转化为： $F(i,j)=\max\limits_{j-AS_i\le k\lt j}\{G(i,k)\}-j*AP_i$，其中 $G(i,k)=F(i-W-1,k)+k*AP_i$；

对于 任意 $j$，第一部分的值是相等的，最优决策 $k$只需要满足在范围内即可，故只需要维护 一个 $G(i,k)$递减， $k\in[j-AS_i,j)$的单调队列 即可。

对③式做相同处理即可，注意处理下标越界情况，最后总的时间复杂度度为 $O(T\cdot\text{MaxP})$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e3+10;
int T,MaxP,W;
int AP[maxn],BP[maxn],AS[maxn],BS[maxn];
int F[maxn][maxn];
int GA(int i,int k)
{
    return F[max(0,i-W-1)][k]+k*AP[i];
}
int GB(int i,int k)
{
    return F[max(0,i-W-1)][k]+k*BP[i];
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&T,&MaxP,&W);
    for(int i=1;i<=T;i++)
        scanf("%d %d %d %d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
    memset(F,0xcf,sizeof(F));
    F[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        //第i天不交易
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
            F[i][j]=F[i-1][j];
 
 
        //第i天买入j-k股
        deque<int> q;
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        {
            while(!q.empty()&&q.front()<j-AS[i])     //保证下界j-AS[i]
                q.pop_front();
            if(!q.empty())
                F[i][j]=max(F[i][j],GA(i,q.front())-j*AP[i]);
            while(!q.empty()&&GA(i,q.back())<=GA(i,j))
                q.pop_back();
            q.push_back(j);      //新加入的k一定小于j，保证了上界j
        }
 
        //第i天卖出k-j股
        q.clear();
        for(int k=1;k<=min(MaxP,BS[i]);k++)
        {
            while(!q.empty()&&GB(i,q.back())<=GB(i,k))
                q.pop_back();
            q.push_back(k);
        }
        for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        {
            while(!q.empty()&&q.front()<=j)      //保证下界j
                q.pop_front();
            if(!q.empty())
                F[i][j]=max(F[i][j],GB(i,q.front())-j*BP[i]);
            if(j+BS[i]+1<=MaxP)      
            {
                while(!q.empty()&&GB(i,q.back())<=GB(i,j+BS[i]+1))
                    q.pop_back();
                q.push_back(j+BS[i]+1);    //新加入的k一定小于等于j+BS[i]，保证了上界j+BS[i]
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int j=0;j<=MaxP;j++)
        ans=max(ans,F[T][j]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}