链接：牛客挑战赛36 C-纸飞机

题意：

给出长度为 $n$（ $1\le n\le 10^6$）的序列 $a_1,a_2,\cdots a_n$（ $1\le a_i\le 2^{30}$）,求分别删除 $a_i$后最长严格下降子序列的个数。

分析：

根据Dilworth定理，就是求分别删除 $a_i$后最长非降子序列的长度，记原序列的最长非降子序列长度为 $len$，显然对于 $a_i$，若其是可以放在最长非降子序列第 $j$位的唯一元素，则删除后的答案为 $len-1$，否则为 $len$；

也就是要判断 每个元素 $a_i$是否可以放在最长非降子序列第 $j$位，且要 统计可以放在最长非降子序列第 $j$位的元素个数，看了别人的代码才发现在 $dp$求出最长非降子序列后，是可以在 $O(n)$的时间复杂度下线性递推进行统计的。

利用树状数组/线段树优化， $O(n\log n)$进行dp求解，得到 $dp[i]$：以 $a[i]$结尾的最长非降子序列的长度，同时有 $len=max\{dp[i]\}$；

自后向前遍历，设置辅助数组 $r[j]$：当前可以放在最长非降子序列第 $j$位的最大元素，为便于作统一处理，令 $\infin$作为可以放在最长非降子序列第 $len+1$位的元素，即令 $r[len+1]=\infin$；

这样，对于当前元素 $a[i]$（以 $a[i]$结尾的最长非降子序列的长度为dp[i]），若有 $a[i]\le r[dp[i]+1]$，则说明 $a[i]$可以放在最长非降子序列第 $dp[i]$位，同时利用 $a[i]$更新 $r[dp[i]]$；

由此判断出了可以放在最长非降子序列第 $j$位的所有元素，最后作统计即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lowbit(x) (x&-x)
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int maxn=1e6+10;

int n,m,a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int dp[maxn],r[maxn],cnt[maxn];
bool flag[maxn];
void updata(int x,int v)
{
    for(;x<=m;x+=lowbit(x))
        c[x]=max(c[x],v);
}
int query(int x)
{
    int res=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))
        res=max(res,c[x]);
    return res;
}

void preprocess()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);
    m=unique(b+1,b+n+1)-(b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i])-b;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    preprocess();
    int len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=query(a[i])+1;
        updata(a[i],dp[i]);
        len=max(len,dp[i]);
    }
    r[len+1]=INF;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(a[i]<=r[dp[i]+1])
        {
            flag[i]=true;
            r[dp[i]]=max(r[dp[i]],a[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(flag[i])
            cnt[dp[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(flag[i]&&cnt[dp[i]]==1)
            printf("%d ",len-1);
        else
            printf("%d ",len);
    }
    return 0;
}