并查集（入门）
概念：并查集由一个整型数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find()是查找，函数join(x,y)是合并。
作用：并查集的主要作用是求连通分支数（如果一个图中所有点都存在到达关系（直接或间接相连），则此图的连通分支数为1；如果此图有两大子图各自全部可达，则此图的连通分支数为2……）
为了让大家能更抽象的理解这个东西，下面引用一个故事来讲解
我记得以前在我也不懂什么是并查集的时候，在网上看了很多东西，我相信你是知道的，百度上面，永远找不到你想要的（也许这就是和Google的差距吧）！！！
不过好在最终还是找到了一个关于并查集的非常好的抽象描述：
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注：以下部分内容引用自博主GGBeng 在他的博客中的叙述（代码和部分描述上，我做了些许修改）：
链接：https://www.cnblogs.com/xzxl/p/7226557.html
问题引入
话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？ 我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。 但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？” 这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
1.find函数的实现
int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。下面给出这个函数的实现：
int find(int x) //查找x的掌门
{
while(pre[x] != x) //如果x的上级不是x自己（也就是说找到的大侠不是掌门）
x = pre[x] ; // x 接着找他的上级，直到找到掌门为止
return x ; //掌门驾到~~~
}
2.join函数的实现
其实就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？
下面给出这个函数的实现：
void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x), fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝
if(fx != fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人
pre[fx]=fy; //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}
3.路径压缩算法的实现
建立门派的过程是用join函数两个人连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起直接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。下面给出具体的实现代码：
int find_pre(int x) //查找结点x的根结点
{
if(pre[x] == x) //递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点
return x;
return pre[x] = find_pre(pre[x]); //此代码相当于先找到根结点rootx，然后pre[x]=rootx
}
该优化的主要思路是：将x到根节点路径上的所有点的pre（上级）都设为根节点
下面给出这一个过程前后的图示：
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总结
①用集合中的某个元素来代表这个集合，该元素称为集合的代表元；
②一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构；
③对于每一个元素 pre[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令pre[x] = x；
④对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着pre[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。
因此：判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。
基于这样的特性，并查集由以下用途：
1、维护无向图的连通性。支持判断两个点是否在同一连通块内，和判断增加一条边是否会产生环。
2、用在求解最小生成树的Kruskal算法里。
一般来说，一个并查集对应三个操作：初始化+查找根结点函数+合并集合函数
1.初始化：
void Make_pre(int i)
{
//一个集合的pre都是这个集合自己的标号。没有跟它同类的集合，那么这个集合的源头只能是自己
pre[i]=i;
rank[i]=0;
}
2.查找函数（递归实现）：
int Find_pre(int i)
{
if(pre[i]==i) return pre[i]; //如果元素i的父节点是自己，说明自己就是源头，则返回自己的标号
return Find_pre(pre[i]); //否则递归查找元素i的源头
}
3.合并集合函数：
void join(int x,int y) //试图合并元素x和元素y
{
int fx=find(x), fy=find(y); //找到x和y的源头
if(fx != fy) pre[fx]=fy; //合并两个源头
}
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进阶（给每个结点加权以标记树的深度，使得在合并操作时能尽可能减小树的深度）
备注：看完上面部分基本就具备了对大部分OJ上涉及到并查集的题，下面的内容仅针对想要深入了解并查集的同学而著。
对于合并操作，假设需要合并的两个集合的代表元分别为x和y，则只需要令parent[x] = y或者parent[y] = x即可。为了使合并后的树不产生退化，即使树中左右子树的深度差尽可能小，对于每一个元素x,维护rank[x]为以x为根的子树的深度。合并时，如果rank[x] < rank[y]，则令parent[x] = y,否则令parent[y] = x。
如下图所示，对以A，F为代表元的集合进行合并操作：
由于rank[A] > rank[F] （rank[A]=3,rank[F]=2），令parent[F]= A。合并后的图形如下图所示：
此时则可以优化这个合并集合函数为：
void Union(int i,int j)
{
i=Find_pre(i);
j=Find_pre(j);
if(i==j) return ;
if(rank[i]>rank[j]) pre[j]=i;
else
{
if(rank[i]==rank[j]) rank[j]++;
pre[i]=j;
}
}
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下面给出上述内容的所有过程代码：
const int N=105
int pre[N]; //存储每个结点的前驱结点
int rank[N]; //树的高度
int init(int n) //初始化函数，对录入的n个结点进行初始化
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
pre[i] = i; //每个结点的上级都是自己
rank[i] = 1; //每个结点构成的树的高度为1
}
}
int find_pre(int x) //查找结点x的根结点
{
if(pre[x] == x) //递归出口：x的上级为x本身，则x为根结点
return x;
return find_pre(pre[x]); //递归查找
}
//改进查找算法：完成路径压缩，将x的上级直接变为根结点，那么树的高度就会大大降低
int find_pre(int x) //查找结点x的根结点
{
if(pre[x] == x) //递归出口：x的上级为x本身，即x为根结点
return x;
return pre[x] = find_pre(pre[x]); //此代码相当于先找到根结点rootx，然后pre[x]=rootx
}
bool is_same(int x, int y) //判断两个结点是否连通
{
return find_pre(x) == find_pre(y); //判断两个结点的根结点（亦称代表元）是否相同
}
void unite(int x,int y)
{
int rootx, rooty;
rootx = find_pre(x);
rooty = find_pre(y);
if(rootx == rooty) return ;
if(rank(rootx) > rank(rooty)) //令y的根结点的上级为rootx
pre[rooty] = rootx;
else
{
if(rank(rootx) == rank(rooty)) rank(rooty)++;
pre[rootx] = rooty;
}
}
