标题:测试次数
x星球的居民脾气不太好,但好在他们生气的时候唯一的异常举动是:摔手机。
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试,并且评定出一个耐摔指数来,之后才允许上市流通。
x星球有很多高耸入云的高塔,刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的,与地球上稍有不同的是,他们的第一层不是地面,而是相当于我们的2楼。
如果手机从第7层扔下去没摔坏,但第8层摔坏了,则手机耐摔指数=7。
特别地,如果手机从第1层扔下去就坏了,则耐摔指数=0。
如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏,则耐摔指数=n
为了减少测试次数,从每个厂家抽样3部手机参加测试。
某次测试的塔高为1000层,如果我们总是采用最佳策略,在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢?
请填写这个最多测试次数。
注意:需要填写的是一个整数,不要填写任何多余内容。
这次可能很多人一开始没看清题目,有手机数量的限制,如果一上来就二分法的话,可能到最后手机不够用而导致无法测出n;
这题可以使用dp进行一个通解,下面我们来分析它的状态转移方程。
我们设当前有phone_num个手机,level_num层,我们使用test ( phone_num, level_num )来表示最坏情况下的最少测试次数
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当我们有一个手机的时候,不论有多少层,我们只能从第一层开始一层一层的摔,因为如果隔层或者不从第一层开始,他一旦摔碎了就没有手机进行下面的测试了,就无法得出结果了。
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当我们有phone_num(phone_num > 1)的时候,我们就可以不从第一层开始一层层的摔了,我们第一次可以摔第 i 层,这个时候我们又有两种情况,就是摔碎了和没摔碎:
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第一种情况,没摔碎。那我们这种情况下,我们需要测试的楼层就减少了 i 层,手机的数量不变, 即为 1 + test ( phone_num, level_num - i ),别忘了前面加上这次摔的次数1.
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第二种情况,摔碎了。那我们这种情况下,我们需要测试的楼层就是 i - 1 层,手机数列减1,即为 1 + test ( phone_num - 1, i - 1)
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这时候我们就可以总结出dp算法中最关键的一步,状态转移方程。
test ( phone_num, level_num ) = min( ( 1 + test ( phone_num, level_num - 1) ), max ( (1 + test( phone_num, level_num - i ) ), ( 1 + test( phone_num -1, i -1 ) ) )
这样写可能不太好看,我们再简化一下这个式子:把 1 提出来。
test ( phone_num, level_num ) = min( test( phone_num, level_num -1 ), max( test(phone_num, level_num - i), test ( phone_num - 1, i -1 ) ) ) + 1
下面我们用程序来实现这个dp算法:
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[10005][11]={0};
int main(){
int phone_num, level_num;
cin>>level_num>>phone_num;
// level_num = 1000;
// phone_num = 3;
for(int i = 1; i <= level_num; i++)
dp[i][1] = i;
for(int i = 2; i <= phone_num; i++){
for(int j = 1; j <= level_num; j++){
dp[j][i] = 1 + dp[j-1][i];//先赋值一个可能的最大值,即从上一层的次数 +1
for(int k = 2;k < j ;k++){//第一次摔一层的,上面已经赋值了,所以我们从第一次摔第二层开始
dp[j][i] = min(dp[j][i], 1 + max(dp[j - k][i],dp[k - 1][i -1]) );
}
}
}
cout<<dp[level_num][phone_num];
return 0;
}
输入 1000 3 即可得出答案:19