- 误加截距项的情况
真实模型
Yi=β1Xi+μi
但却拟合了一个带截距项的模型
Yi=α0+α1Xi+vi
这里的误设主要是增加了一个常数项,即出现的是增加无关变量的错误(相当于增加了一个取值恒为1的变量)。其后果是估计量虽然无偏且一致,但方差并不具有最小性。
对于误设的模型
α^1=∑xi2∑xiyi
将真实模型离差形式
yi=β1+μi−μ代入上式
α^1=∑xi2∑xi(β1xi+μi−μ)=β1+∑xi2∑xiμi
E(α^1)=β1+∑xi2∑xiE(μi)=β1
所以
α^1无偏。
对于
α^2
α^0=Y−α^1X
将真实模型
Y=β1X+μ代入得
α^0=β1X+μ−α^1X
易得
E(α^0)=0,所以
α^0也无偏。
- 遗漏截距项的情况
对于过原点回归
β^1=∑Xi2∑XiYi
将真实模型
Yi=α0+α1Xi+vi代入上式
β^1=∑Xi2∑Xi(α0+α1Xi+vi)=α1+α0∑Xi2+∑Xi2∑Xiμi∑Xi
E(β^1)=α1+α0∑Xi2∑Xi
可以看出在遗漏一个相关变量(这里相当于遗漏一个取值恒为1的变量),OLS估计量有偏。