• 线性性
  定义 $x_i=X_i-\overline X,y_i=Y_i-\overline Y$。为了后续证明方便首先说明一些性质。
  $\sum x_i=\sum (X_i -\overline X)=0$
  $\sum x_iy_i=\sum x_i(Y_i-\overline Y)\\=\sum x_iY_i-\overline Y\sum x_i =\sum x_i Y_i$
  根据以上性质证明线性性：
  $\hat \beta_1=\frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}=\frac{\sum x_i(Y_i-\overline Y)}{\sum x_i^2}=\frac{\sum x_i}{\sum x_i^2}Y_i =\sum k_iY_i$
  其中 $k_i=\frac{x_i}{\sum x_i^2}$。
  $\hat \beta_0=\overline Y-\hat \beta_1\overline X=\frac{1}{n}\sum Y_i -\sum k_i Y_i \overline X\\=\sum(\frac{1}{n}-k_i\overline X)Y_i=\sum w_i Y_i$
  其中 $w_i=\frac{1}{n}-\overline X k_i$。

• 无偏性
  无偏性的证明用到了 $k_i$的一些性质：
  $\sum k_i=\frac{\sum x_i}{\sum x_i^2}=0 \\\quad\\\sum k_iX_i=\frac{\sum x_i X_i}{\sum x_i^2} =\frac{\sum x_i X_i}{\sum x_iX_i-\overline X \sum x_i}=1$
  利用上面的性质，
  $\hat \beta_1=\sum k_i Y_i=\sum k_i(\beta_0+\beta_1 X_i+\mu_i)\\=\beta_0\sum k_i+\beta_1\sum k_ix_i+\sum k_i \mu _i=\beta_1+\sum k_i\mu$
  $E(\hat \beta_1)=E(\beta_1+\sum k_i\mu)=\beta_1+\sum k_i E(\mu _i)=\beta_1$
  同样地，
  $E(\hat\beta_0)=E(\beta_0+\sum w_i\mu_i)=\beta_0+\sum w_iE(\mu_i)=\beta_0$

• 有效性
  有效性是说在所有线性无偏估计中，OLS估计量具有最小方差。
  ${\rm Var}(\hat\beta_1)={\rm Var}(\sum k_i Y_i)=\sum k_i^2(\beta_0+\beta_1X_i+\mu_i)\\=\sum k_i^2\sigma ^2=\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}$
  设 $\hat\beta_1^*$是由其他方法得到的估计量：
  $\hat\beta_1^*=\sum c_iY_i$
  其中 $c_i=k_i+d_i$。
  由于 $\hat\beta_1^*$的无偏性， $c_i$与 $k_i$一样具有性质：
  $\sum c_i=0,\sum c_iX_i=1$
  $d_i$有如下性质：
  $\sum k_i d_i=\sum k_i(c_i-k_i)=\sum \frac{x_ic_i}{\sum x_i^2}-\sum k_i^2\\= \frac{\sum X_ic_i-\overline X\sum c_i}{\sum x_i^2}-\sum k_i^2 =\frac{1}{\sum x_i^2}-\frac{1}{\sum x_i^2}=0$
  下面的证明利用了以上性质。
  ${\rm {Var}} (\hat \beta_1^*)={\rm{Var}}(\sum c_i Y_i)=\sigma^2\sum c_i^2 \\\quad\\=\sigma^2\sum(k_i+d_i)^2=\sigma^2\sum k_i^2+\sigma^2\sum d_i^2+2\sigma^2\sum k_id_i\\\quad\\=\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}+\sigma^2\sum d_i^2={\rm Var}(\hat \beta_1)+\sigma^2\sum d_i^2$
  因为 $\sum d_i^2 \geq0$,所以 $\rm Var$( $\hat \beta_1^*$) $\geq{\rm Var}(\hat \beta_1)$。

Basic Econometrics,Damodar N.Gujarati
计量经济学，李子奈