- 分治,也就是分而治之。它的一般步骤是
- 将原问题分解成若干个规模较小的子问题(子问题和原问题的结构一样,只是规模不一样)
- 子问题又不断分解成规模更小的子问题,直到不能再分解(知道可以轻易算出子问题的解)
- 利用子问题的解推导出原问题的解
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因此,分治策略非常适合用递归
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需要注意的是:子问题之间是互相独立的
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分治的应用
- 快速排序
- 归并排序
- Karatsuba算法(大数乘法)
主定力(Master Theorem)
- 分治策略通常遵守一种通用模式
- 解决模式为n的问题,分解成a个喹莫为n/b的子问题,然后再O(n^d)时间内将子问题的解合并起来
- 算法运算时间为:T(n) = aT(n/b) + O(n^d),a>0,b>1,d>=0
- 比如归并排序的运行时间是:T(n) = 2T(n/2) + O(n),a = 2,b = 2,d = 1,所以T(n) = O(nlogn)
练习1 - 最大连续子序列和
- leetcode_53_最大子序和
- 给定一个长度为n的整数序列,求它的最大连续子序列和
- 比如-2、1、-3、4、-1、2、1、-5、4的最大连续子序列和是:4 + (-1) + 2 + 1 = 6
- 这道题也属于最大切片问题(最大区段,Greatest Slice)
- 概念区分:子串、子数组、子区间必须是连续的,子序列是可以不连续的
解法1 - 暴力出奇迹
- 穷举出所有可能的连续子序列,并计算出它们的和,最后取它们中的最大值
int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int begin = 0; begin < nums.length; begin++) {
for (int end = begin; end < nums.length; end++) {
int sum = 0;
for (int i = begin; i <= end; i++) {
sum += nums[i];
}
max = Math.max(max, sum);
}
}
return max;
}
- 空间复杂度:O(1),时间复杂度:O(n^3)
解法1 - 暴力出奇迹 - 优化
- 重复利用前面计算过的结果
int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int begin = 0; begin < nums.length; begin++) {
int sum = 0;
for (int end = begin; end < nums.length; end++) {
sum += nums[end];
max = Math.max(max, sum);
}
}
return max;
}
- 空间复杂度:O(1),时间复杂度:O(n^2)
解法2 - 分治
- 将序列均匀地分割成2个子序列
- [begin, end) = [begin, mid) + [mid, end),mid = (begin + end) >> 1
- 假设问题的解释S[i, j),那么问题的解有3中可能
- [i, j)存在于[begin, mid)中
- [i, j)存在于[mid, end)中
- [i, j)一部分存在于[begin, mid)中,另一部分存在于[mid, end)中
[i, j) = [i, mid) + [mid, j)
S[i, mid) = max { S[k, mid)},begin <= k < mid
S[mid, j) = max { S[mid, k)},mid < k <= end
int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
return maxSubArray(nums, 0, nums.length);
}
int maxSubArray(int[] nums, int begin, int end) {
if (end - begin < 2) return nums[begin];
int mid = (begin + end) >> 1;
int leftMax = nums[mid - 1];
int leftSum = leftMax;
for (int i = mid - 2; i >= begin; i--) {
leftSum += nums[i];
leftMax = Math.max(leftMax, leftSum);
}
int rightMax = nums[mid];
int rightSum = rightMax;
for (int i = mid + 1; i < end; i++) {
rightSum += nums[i];
rightMax = Math.max(rightMax, rightSum);
}
return Math.max(leftMax + rightMax,
Math.max(maxSubArray(nums, begin, mid),
maxSubArray(nums, mid, end)));
}
- 空间复杂度:O(logn)
- 时间复杂度:O(nlogn),跟归并排序、快速排序一样,T(n) = 2T(n/2) + O(n)
练习2 - 大数乘法
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按照小学时学习的乘法运算,在进行n位数之间的相乘时,需要大约进行n^2次个位数的相乘
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比如计算25 x 63
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时间复杂度T(n) = 4T(n/2) + O(n) = O(n^2)
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1960年Anatolii Alexeevitch Karatsuba提出了Karatsuba算法,提高了大数乘法的效率