题面

一道比较神仙的构造题。

首先确定 \(1\) 到 \(n\) 的路径长度，不妨设其长为 \(m\) 。

通过观察发现，\(m\) 就是 \(\min_{1<i<n}\{dist_{1,i} + dist_{i,n}\}\)。

如果所有的 \(| dist_{1, i} - dist_{i, n} |\) 都相等，那么可以特判一下：

• 首先将 \(1\) 与 \(n\) 连接起来，路径长度为 \(| dist_{1, i} - dist_{i, n} |\) ；
• 对于每一个 \(\forall 1<i<n\) ：
  • 如果\(dist_{1,i}>dist_{i,n}\)，那么将 \(i\) 与 \(1\) 连接，长度为 \(dist_{1,i}\) ；
  • 如果\(dist_{1,i} \leq dist_{i,n}\) ，那么将 \(i\) 与 \(n\)连接，长度为 \(dist_{i, n}\) 。

若点 \(i\) 满足 \(dist_{1,i} + dist_{i,n} = m\)，则 \(i\) 在 \(1\) 到 \(n\) 的路径上。

否则可以求出 \(i\) 到 \((1, n)\) 路径的距离和 \(i\) 在路径上的“投影”的
位置，查找位置可以使用二分查找。

将 \(i\) 挂在路径上对应的点上即可。

如果找不到可以挂起的位置或者 \(1\) 到 \(n\) 的路径上有几个点重复就无解。

注意特判 \(n=2\) 的情况。

代码如下（刚好 \(100\) 行…）：

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define itn int
#define gI gi
#define mk make_pair

using namespace std;

inline int gi()
{
    int f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x;
}

const int maxn = 500003;

int sz, ddd, len, n, m = 1000000007, d1[maxn], dn[maxn], dis[maxn], jlx[maxn];

struct Node
{
    int id, dis;
} a[maxn];
struct Ans
{
    int u, v, w;
} ans[maxn];

inline bool cmp(Node x, Node y) {return x.dis < y.dis;}

inline void sub1_getans()
{
    puts("TAK");
    printf("1 %d %d\n", n, len);
    for (int i = 2; i < n; i+=1)
    {
        if (d1[i] < dn[i]) printf("1 %d %d\n", i, d1[i]);
        else printf("%d %d %d\n", n, i, dn[i]); 
    }
    return;
}

inline int Binary_Search(int x)
{
    int l = 1, r = sz;
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (a[mid].dis == x) return mid;
        else if (a[mid].dis < x) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    n = gi();
    if (n == 2) //特判
    {
        puts("TAK\n1 2 1");
        return 0;
    }
    d1[1] = dn[n] = 0;
    for (int i = 2; i < n; i+=1) d1[i] = gi();
    for (int i = 2; i < n; i+=1) dn[i] = gi(), jlx[i] = abs(d1[i] - dn[i]);
    bool fl = true;
    for (int i = 3; i < n; i+=1) if (jlx[i] != jlx[i - 1]) {fl = false; break;}
    if (fl) {len = jlx[2]; sub1_getans(); return 0;} //特判
    for (int i = 2; i < n; i+=1) m = min(m, d1[i] + dn[i]);
    a[++sz] = (Node){1, 0};
    d1[n] = dn[1] = m;
    for (int i = 2; i < n; i+=1) 
        if (d1[i] + dn[i] == m) a[++sz] = (Node){i, d1[i]};
    a[++sz] = (Node){n, d1[n]};
    sort(a + 1, a + 1 + sz, cmp);
    for (int i = 2; i < n; i+=1)
    {
        dis[i] = d1[i] - (d1[i] + dn[i] - m) / 2;
    }
    for (int i = 1; i < sz; i+=1)
    {
        if (a[i].dis == a[i + 1].dis) {puts("NIE"); return 0;}
        ans[++ddd] = (Ans){a[i].id, a[i + 1].id, a[i + 1].dis - a[i].dis};
    }
    for (int i = 2; i < n; i+=1)
    {
        int nowlen = d1[i] + dn[i];
        if (nowlen != m)
        {
            int find_jl = Binary_Search(dis[i]); //二分挂起的位置
            if (((d1[i] + dn[i] - m) & 1) || find_jl == -1) {puts("NIE"); return 0;}
            ans[++ddd] = (Ans){a[find_jl].id, i, (d1[i] + dn[i] - m) / 2};
        }
    }
    puts("TAK");
    for (int i = 1; i <= ddd; i+=1) printf("%d %d %d\n", ans[i].u, ans[i].v, ans[i].w);
    return 0;
}

另：这份代码在洛谷上 AC 了， 但是在 BZOJ 上会 WA， 不知道为什么……