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Solution
- 由于没有猜到结论,最后只拿了大众分。
- 事实上,我们会发现最优解一定满足:
对于每一个断点,最后一段的和在所有合法解中都是最小的。
- 以下是证明:
显然满足条件的解是唯一的。
构造序列 , 其中 表示满足条件的解中倒数第 段的和,并在序列 的末尾补上无限个 。
现在我们需要证明对于任意一个不满足条件的解,用同样的方法构造出序列 ,都有 。
其中已知条件是 且 。
找到第一个满足 的 ,显然 一定存在。
由 可知:一定可以再找到一个 ,满足 且 。
由序列 的不上升性质可知: 。
从 开始,从左往右找到第一个 满足 ;从 开始,从右往左找到第一个 满足 。令 减一, 加一,序列 仍然满足原有的性质,但平方和减小。
经过若干次这样的调整,序列 最终会和序列 相同,因此序列 对应的解一定是最优解,原命题得证。
- 我们设 表示以 作为断点的最优解中 的上一个断点。
- 令 ,显然有:
- 移项可得:
- 由于 单增,可以用单调队列维护,最后高精计算答案。
- 设高精位数为 ,时间复杂度 ,当然这只是上界。
Code
#include <bits/stdc++.h>
template <class T>
inline void read(T &res)
{
char ch;
while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
res = ch ^ 48;
while (ch = getchar(), isdigit(ch))
res = res * 10 + ch - 48;
}
template <class T>
inline void put(T x)
{
if (x > 9)
put(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}
typedef long long ll;
const int mod = 1e9;
const int B = (1 << 30) - 1;
const int N = 4e7 + 5;
int x, y, z, b1, b2, m;
int n, type, l, r, p, t, w;
int que[N], pre[N];
ll sum[N];
template <class T>
inline void CkMax(T &x, T y) {x < y ? x = y : 0;}
template <class T>
inline T Min(T x, T y) {return x < y ? x : y;}
struct big
{
ll g[6];
int gl;
inline void Clear()
{
for (int i = 0; i < 4; ++i)
g[i] = 0;
gl = 0;
}
inline void Change(ll x)
{
while (x > 0)
{
g[gl++] = x % mod;
x /= mod;
}
}
inline void Sqr()
{
big s;
s.Clear();
for (int i = 0; i < gl; ++i)
if (g[i])
for (int j = 0; j < gl; ++j)
if (g[j])
s.g[i + j] += g[i] * g[j];
gl = Min(4, gl + gl);
for (int i = 0; i < gl; ++i)
g[i] = 0;
for (int i = 0; i < gl; ++i)
{
g[i] += s.g[i];
g[i + 1] += g[i] / mod;
g[i] %= mod;
}
while (gl > 1 && !g[gl - 1])
--gl;
}
inline void operator += (const big &a)
{
CkMax(gl, a.gl);
for (int i = 0; i < gl; ++i)
g[i] += a.g[i];
for (int i = 0; i < gl; ++i)
if (g[i] >= mod)
g[i] -= mod, ++g[i + 1];
if (g[gl] > 0)
++gl;
}
inline void Print()
{
printf("%d", (int)g[gl - 1]);
for (int i = gl - 2; i >= 0; --i)
printf("%09d", (int)g[i]);
putchar('\n');
}
}a, b;
int main()
{
read(n); read(type);
if (type == 1)
{
read(x); read(y); read(z);
read(b1); read(b2); read(m);
sum[1] = b1;
sum[2] = b2;
for (int i = 3; i <= n; ++i)
sum[i] = (sum[i - 1] * x + sum[i - 2] * y + z) & B;
int lst = 0;
for (int i = 1, l, r, p; i <= m; ++i)
{
read(p); read(l); read(r);
for (int j = lst + 1; j <= p; ++j)
sum[j] = sum[j] % (r - l + 1) + l + sum[j - 1];
lst = p;
}
}
else
{
for (int i = 1, x; i <= n; ++i)
{
read(x);
sum[i] = sum[i - 1] + x;
}
}
t = 1, w = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
while (t < w && 2ll * sum[que[t + 1]] - sum[pre[que[t + 1]]] <= sum[i])
++t;
if (t <= w && 2ll * sum[que[t]] - sum[pre[que[t]]] <= sum[i])
pre[i] = que[t];
else
pre[i] = 0;
while (t <= w && 2ll * sum[que[w]] - sum[pre[que[w]]] >= 2ll * sum[i] - sum[pre[i]])
--w;
que[++w] = i;
}
que[w = 1] = x = n;
while (x > 0)
{
que[++w] = pre[x];
x = pre[x];
}
a.Clear();
a.gl = 1;
for (int i = w; i >= 2; --i)
{
b.Clear();
b.Change(sum[que[i - 1]] - sum[que[i]]);
b.Sqr();
a += b;
}
a.Print();
return 0;
}