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• BZOJ2655 洛谷P4463

Solution

• 先统计序列元素递增的贡献和，答案就为 贡献和 $\times n!$。
• 设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数选的最大的数 $\le j$ 的贡献和，转移显然为 $f[i][j] = f[i - 1][j - 1] \times j + f[i][j - 1]$，时间复杂度 $O(nA)$。
• 现在我们尝试证明： $f[n][A]$ 可以用一个关于 $A$ 的 $2n + 1$ 次多项式表示。
• 这个转移方程似乎不太好弄，我们先转换一下思路。
• 设 $g[i][j]$ 表示前 $i$ 个数选的最大的数 $= j$ 的贡献和，转移显然为 $g[i][j] = (\sum \limits_{k = 0}^{j - 1} g[i - 1][k]) \times j$，则 $f[n][A] = \sum \limits_{j = 0}^{A} g[n][j]$。
• 若 $g[n][j]$ 可以用一个关于 $j$ 的多项式表示，我们对 $g[n][j]$ 求前缀和实际上使多项式次数 $+1$，因此现在只要证明 $g[n][j]$ 可以用一个 $2n$ 次多项式表示。
• 考虑数学归纳， $n = 0$ 时显然成立，每次转移相当于求前缀和并 $\times j(1 \le j \le A)$，多项式次数增加 $2$，得证。
• 又因为 $f[n][0] = 0$，常数项肯定为 $0$，用 $2n + 1$ 个点即可表示这个多项式。
• 直接暴力拉格朗日插值即可，时间复杂度 $O(n^2)$。

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	char ch; 
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
		res = res * 10 + ch - 48;
}

const int N = 505;
const int M = 1005;
int A, n, mod, m, y[M], f[N][M];

inline void add(int &x, int y)
{
	x += y;
	x >= mod ? x -= mod : 0;
}

inline int quick_pow(int x, int k)
{
	int res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1) res = 1ll * res * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod; k >>= 1;
	}
	return res;
}

inline int Lagrange(int x)
{
	if (x >= 1 && x <= m)
		return y[x];

	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		int p = y[i], q = 1;
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			if (i != j)
			{
				p = 1ll * p * (x - j) % mod;
				q = 1ll * q * (i - j) % mod;
			}
		p < 0 ? p += mod : 0;
		q < 0 ? q += mod : 0;
		res = (res + 1ll * p * quick_pow(q, mod - 2)) % mod;
	}
	return res;
}

int main()
{
	read(A); read(n); read(mod);
	
	int res = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		res = 1ll * res * i % mod;
	m = n + n + 1;
	for (int j = 0; j <= m; ++j)
		f[0][j] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			f[i][j] = (1ll * f[i - 1][j - 1] * j + f[i][j - 1]) % mod;
	for (int j = 1; j <= m; ++j)
		y[j] = f[n][j];
	std::cout << 1ll * res * Lagrange(A) % mod << std::endl;
}