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题目

7-1 Forever (20 分)

"Forever number" is a positive integer A with K digits, satisfying the following constrains:

• the sum of all the digits of A is m;
• the sum of all the digits of A+1 is n; and
• the greatest common divisor of m and n is a prime number which is greater than 2.

Now you are supposed to find these forever numbers.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each test case, the first line contains a positive integer N (≤5). Then N lines follow, each gives a pair of K (3<K<10) and m (1<m<90), of which the meanings are given in the problem description.

Output Specification:

For each pair of K and m, first print in a line Case X, where X is the case index (starts from 1). Then print n and A in the following line. The numbers must be separated by a space. If the solution is not unique, output in the ascending order of n. If still not unique, output in the ascending order of A. If there is no solution, output No Solution.

Sample Input:

2
6 45
7 80

Sample Output:

Case 1
10 189999
10 279999
10 369999
10 459999
10 549999
10 639999
10 729999
10 819999
10 909999
Case 2
No Solution

事先准备

这道题会用到几个小的工具函数，一定要准备好：

//求最小公约数
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

//检验不小于3的素数
bool isPrime(int n){
    if(n<3)return false;
    int x=(int)sqrt(n);
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(n%i==0)return false;
    }
    return true;
}

//求整数的每一位数之和
int sum(int n){
    return n==0?0:sum(n/10)+n%10;
}

陷阱

如果不按照尾数为99的数枚举，会超时。

那你是怎么就这么肯定的呢？

首先题目是Forever数，“长长久久”暗示了该有两个九。其次呢，加一不进位的话，这两个数的各位之和相差的是1，无论如何也不会有不小于三的最小公约数了吧。提出了这个假设之后可以自己写一段程序验证一下。

代码 

//得分:20，满分
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
int k, n,m,a,b,c,d,num;
bool f=false;
struct node{
    int n,a;
};
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
bool isPrime(int n){
    if(n<=2)return false;
    int sq=(int)sqrt(n);
    for(int j=2;j<=sq;j++){
        if(n%j==0)return false;
    }
    return true;
}
int sum(int n){
    return n==0? 0: n%10 + sum(n/10);
}
bool cmp(node &a,node &b){
    if(a.n!=b.n)return a.n<b.n;
    return a.a<b.a;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d %d",&k,&m);
        printf("Case %d\n",i+1);
        a=(int)pow(10,k-3);//-3
        b=a*10;
        vector<node> v;
        for(int x=a;x<b;x++){
            c=x*100+99;
            d=sum(c+1);
            if(sum(c)==m && isPrime(gcd(d,m))){
                v.push_back({d,c});
            }
//        这段注释掉的代码可以验证尾数为99才行           
//        a=(int)pow(10,k-1);
//        b=a*10;
//        for(int x=a;x<b;x++){
//            d=sum(x+1);
//            if(isPrime(gcd(d,sum(x))) && x%100!=99)
//                printf("%d %d %d %d\n",d,x,sum(x),gcd(d,sum(x)));
//        }
        
        if(v.size()==0)printf("No Solution\n");
        else{
            sort(v.begin(),v.end(),cmp);
            for(auto it:v){
                printf("%d %d\n",it.n,it.a);
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

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