最大公约数
求两个数字间a,b的最大公约数gcd(a,b)和最小公倍数lcm(a,b),是很常见的数字计算问题,求除了最大公约数,自然就求除了最小公倍数,求解最大公约数有以下几种方法
小心计算a*b时溢出,所以先除后乘
质因数分解法
通过分解质因数得到a,b的所有质因子,然后求出最大公约数
辗转相除法(欧几里得算法)
辗转相除法又被称为欧几里得算法,是求两个数a,b间的最大公约数比较常用的算法。它的数学基础是
,代码有两种写法,迭代和递归
递归:
int GCD(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
迭代:
int GCD(int a,int b){
int t;
while(b){
t=a;
a=b;
b=a%b;
}
return a;
}
辗转相减法(更相替损法)
辗转互减法正如它的名字,两个数互减,大数减小数
递归:
int GCD(int a,int b){
return b==0?a:GCD(abs(a-b),min(a,b));
}
int GCD(int a,int b){
if(a==b) return a;
if(a>b) return GCD(a-b,b);
return GCD(b-a,a);
}
迭代:
int GCD(int a,int b){
while(a!=b){
if(a>b) a-=b;
else b-=a;
}
return a;
}
快速GCD算法
int qGCD(int a,int b){
int ans=1,t;
while(a&&b){
if(!(a&1) && !(b&1)){
a>>=1;
b>>=1;
ans<<=1;
}else if(!(a&1)) a>>=1;
else if(!(b&1)) b>>1;
else{
if(a>b) a-=b;
else if(a<b) b-=a;
else break;
}
}
if(a==0) return b*ans;
if(b==0) return a*ans;
}
欧几里得算法和扩展欧几里得算法
用来求解
int exGCD(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;
b=0;
return a; //返回GCD(a,b)
}
int ans=exGCD(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return ans;
}
int x,y;
int exGCD(int a,int b){
if(b==0){
x=1;
b=0;
return a; //返回GCD(a,b)
}
int ans=exGCD(b,a%b);
int x2=x;
x=y;
y=x2-a/b*y;
return ans;
}