Problem
Solution
一眼莫反,许多年前好像用莫反做过。但是在其他大佬的博客里Get到了一种用欧拉函数的快速算法,写一下。
定理
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=1] = (\sum_{i=1}^n 2*φ(i)) - 1\]
很好理解。减去的 \(1\) 是多算的一个 \((1,1)\)。
让后就可以切爆这题了。
Code
Talk is cheap.Show me the code.
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
int x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
return x * f;
}
const int N = 1e7+7;
int n,tot,ans;
int phi[N],p[N],sum[N];
bool vis[N];
void MakePhi() {
phi[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
if(!vis[i]) {
p[++tot] = i; phi[i] = i-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;++j) {
if(i%p[j] == 0) {
vis[i*p[j]] = 1, phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j]; break;
} else vis[i*p[j]] = 1, phi[i*p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
}
signed main()
{
n = read();
MakePhi();
for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=n;++i) {
ans += 2 * sum[n/p[i]] - 1;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
Summary
这个定理很重要!!!