预备知识：多项式除法
上一节我们讲了checksum
这一节我们来讲CRC
How do CRCs work
CRC: the cyclic redundancy check
从下面几个章节来讲，
首先是讲一下如何通过 模除运算 来检测错误，为了给你后面学习CRC提供一些sense
现在有hello world， o变成了n ， r变成了s
checksum是不能检测出错误的，
两个 big long binary string 的等价十进制数字
我们用着两个数字除以 251
余是50和52， 通过求余运算，我们就能检测错误。。
下面再给出个例子，
hi！ 是上面那一行，
我们想为这一行增加一些extra byte，
fill these extra bytes in here with our check sequence
首先我们先加0， 最后16位都是0，生成了一个十进制的数字
我们先用这个数字模 65521 得到 26769
然后用65521 – 26769 = 38752
然后用这坨数字加上38752
这样得到的数，就能被65521整除
（
例如，
5%3 = 2
3-2=1
5+1=6
）
然后我们可以把 38752 加到最后两个字节上
这个东西模65521的值就是0
如果我们得到的message 模 65521的值不是0，我们就知道了，一定是传输中出现错误了
（将hi！ 改成ho！）
===============================================
receive的message = trans的message + error message
t可以被65521整除
r不可以被 65521整除，是因为e不可以被65521整除，
我们为什么选了65521这个数字，，，为什么没选256呢，
e其实是可以被256整除的，因为anything where the last 8 bits are zeros is a multiple of 256
在这两个例子中， receiver都是改变了两位， 但是error却可能实际改变很多位,这是因为有进位的问题干扰
在这个例子中虽然只有两个位变了，但是受进位的影响，错误error中有那么多位都不一样。
在CRC中，没有用2，而是用x(因为用2的话相当于是十进制)
这只是表示这段二进制string的另一种方式
(another expression represents the same string)
然后我们用 下面这个多项式来除
和我们在文章一开始做的一样， 先把二进制转换为一种表达式，然后找到了一个数..就去相除
得到的这个结果怎么转换为二进制呢， 比如说 6x^15，我们不能在一行二进制的第16位写6。。。因为二进制里没有6， 下面介绍一个数学工具
finite fields 有限域
在algebra（代数）中， 有各种各样的rules， 上图中对x的一个计算，应用了
additive property of equality
multiplicative property of equality
Finite Fields
a finite filed uses a finite number of numbers, but still all the rules of algebra work just the same.
a filed is basically just a set of numbers and then definition of how you add those numbers together and how you multiply those numbers
Field axioms 域公理
定义有限域F=[0,1]，满足Field axioms
虽然上面有些东西看上去不符合直觉，
比如在field axioms中 additive inverse : a+(-a) = 0
在我们的F中，只是inverse是这个数本身，所以这一条也是满足的
回到刚才的算式中：
如果我们用有限域F，就不会出现二进制之外的数字了
在这个表达式中，我们留了16位来fill我们的CRC，
我们的除数被称作 generator polynomial
进行除法，
在处理到x^22的时候， 0 – x^22 ，并不是 -x^22
因为我们在使用我们的有限域进行运算
在F中，0-1的值是1，所以0-x^22 结果是 x^22
在计算中，
我们也应该注意到这很像xor门，因为上下都有的时候会变成0，有一个的时候会保留，
一直到最后算出 remainder
because we use the finite field when we did this whole division process what you’ll see is that all of our coefficients(系数) are either 0 or 1, right?
so we could actually convert this remainder now to a binary number
the finite field even though it’s kind of weird and we had to redefine some of the addition and multiplication, A little bit algebra still works and that’s the whole that’s the whole reason to use it
x^13 + x^12 + … … 从这一位开始是运算的结果——m(x) mod g(x) 的余数，
t(x) = m(x) – (m(x) mod g(x)). 中间计算使用的是F(0,1)有限域的二进制计算
(
5%3 =2
5-2=3
3%3=0
)
(
7%3=1
7-1=6
6%3=0
)
当receiver拿到t(x)后，用t(x) mod g(x) 得到的值是 0
如果求得余数不是0，那么说明是有错误的。
如果求得的余数不是0，那么说明是有错误的。
generator polynomial是怎么来的
最后接收方要收到的是t(x) ，要求是t(x) mod g(x) = 0，
所以我们期望的是((tx) + e(x)) mod g(x) !=0
所以我们只要选取出e(x) mod g(x) 不为0的，就是合适的g(x)
Detecting single-bit errors:
例如：
in order to detect this we need to come up with a polynomial that is not a multiple of X to the I (x^i)，
为了检测出单比特错误，我们要找的g(x) 要求不是 x^i 的倍数
g(x):
with at least 2 terms (e.g. x+1)
Detecting two-bit errors:
the goal is come up with a generator polynomial that is not a multiple of this expression
上式也可以写成
写成
（k is the distance between two errors）
我们直接给出一个g(x):
对应这个g(x)， if your message less than 32k,then this particular polynomial will be able to detect any two-bit errors within that message, 这个可以在数学上严格证明
通过WIKI我们可以看到，我们给出的这个叫做CRC-16-CCITT (Bluetooth就用的这个..)
还有CRC32.。
802-3(Ethernet) ----> wifi 就用的这个
PNG什么的
…
还有一些更好的CRC变种
看一下
Koopman(CRC-32K)教授的CRC
http://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/
看一下这张表中，对应HD=4折一行的16折一列对应的表格值的意思
Max length of Hamming distance is the minimum number of bits that you’d have to change between two messages in order to not detect an error.
HD=4的意思是
in this case a Hamming distance of four
means that you can change any three bits in the message and guaranteed to detect it
这一行这一列对应的意思是：
this particular 16 bit CRC will give you that and it’ll give you that for messages up to 32K long
you can get higher hamming distances, but you see the message size gets smaller
Detecting burst errors:
k is the length of burst
x^i 是最右边的错误位，k是burst error的长度 ，所以x^i(x^k-1 + … + 1)
因为结果[t(x)] % g(x) = 0
所以我们期望((tx) + e(x)) mod g(x) !=0
我们要求ex除以gx 使余数不为0
假设g(x)最高项位数是16
e(x)的项数只要少于16，就不可能被整除..
所以
any 16-bit crc is always going to protect against at least 16-bit burst errors
a 32-bit crc is always going to protect against at least 32-bit burst errors and so forth