只出现一次的数字

原题：136. 只出现一次的数字

题目描述

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。
说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

分析

利用两个相同正数异或抵消，以及异或具有交换律的性质，数组里所有数字全部异或，单一的数字便会被剩下。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

代码

class Solution(object):
    def singleNumber(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        res = 0
        for i in nums:
            res ^= i
        return res

只出现一次的数字 II $\star\star$

原题：137. 只出现一次的数字II

题目描述

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。

说明：
你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

分析及代码

(算法借鉴于：)

• 二进制下不考虑进位的加法：本题为136的拓展，136 题中我们用到了异或运算。实际上，异或运算的含义是二进制下不考虑进位的加法，即：0 xor 0=0+0=0, 0 xor 1=0+1=1, 1 xor 0=1+0=1, 1 xor 1=1+1=0（不进位）。
• 三进制下不考虑进位的加法：通过定义某种运算 #，使得 0 # 1 = 1，1 # 1 = 2，2 # 1 = 0。在此运算规则下，出现了 3 次的数字的二进制所有位全部抵消为 0，而留下只出现 1 次的数字二进制对应位为 1。因此，在此运算规则下将整个 arr 中数字遍历加和，留下来的结果则为只出现 1 次的数字。
• 代码分析：
  • ones ^= num：记录至目前元素num，二进制某位出现 1 次（当某位出现 3 次时有 ones=1 ，与 twos = 1 共同表示“出现 3 次”）；
  • twos |= ones & num：记录至目前元素num，二进制某位出现 2 次 （当某位出现 2 次时，twos=1 且 ones=0 ）；
  • threes = ones & twos：记录至目前元素num，二进制某位出现 3 次（即当 ones 和 twos 对应位同时为 1 时 three=1 ）。
  • one &= ~threes, two &= ~threes：将 ones, twos 中出现了 3 次的对应位清零，实现 “不考虑进位的三进制加法” 。

class Solution:
    def singleNumber(self, nums: [int]) -> int:
        ones, twos, threes = 0, 0, 0
        for num in nums:
            twos |= ones & num # 二进制某位出现1次时twos = 0，出现2, 3次时twos = 1；
            ones ^= num  # 二进制某位出现2次时ones = 0，出现1, 3次时ones = 1；
            threes = ones & twos # 二进制某位出现3次时（即twos = ones = 1时）three = 1，其余即出现1, 2次时three = 0；
            ones &= ~threes # 将二进制下出现3次的位置零，实现`三进制下不考虑进位的加法`；
            twos &= ~threes
        return ones

• 进一步简化：以上过程本质上是通过构建 3 个变量的状态转换表来表示对应位的出现次数：使所有数字“相加”后出现 3N+1 次的位 ones = 1，出现 3N，3N+2次的位为 ones=0。由于 three 其实是 ones & twos 的结果，因此我们可以舍弃 threes，仅使用 ones 和 twos 来记录出现次数。

• 代码分析：
  • ones = ones ^ num & ~twos：
    • 当 num = 1 时，只当 ones=twos=0 时将 ones 置 1，代表出现 3N+1 次；其余置 0，根据 twos 值分别代表出现 3N 次和 3N+2 次；
    • 当 num=0 时，ones 不变；
  • twos = twos ^ num & ~ones：
    • 当 num = 1 时，只当 ones = twos = 0 时将twos 置 1，代表出现 3N+2 次；其余置 0，根据 ones 值分别代表出现 3N 次和 3N+1 次。
    • 当 num=0 时，twos 不变。

class Solution:
    def singleNumber(self, nums: [int]) -> int:
        ones, twos = 0, 0 #出现一次的位，和两次的位
        for num in nums:
            ones = ones ^ num & ~twos #既不在出现一次的ones，也不在出现两次的twos里面，我们就记录下来，出现了一次，再次出现则会抵消
            twos = twos ^ num & ~ones #既不在出现两次的twos里面，也不再出现一次的ones里面(不止一次了)，记录出现两次，第三次则会抵消
        return ones

只出现一次的数字 III

原题：260. 只出现一次的数字 III

题目描述

给定一个整数数组 nums，其中恰好有两个元素只出现一次，其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。

示例 : 输入: [1,2,1,3,2,5] 输出: [3,5]

注意：
结果输出的顺序并不重要，对于上面的例子， [5, 3] 也是正确答案。
你的算法应该具有线性时间复杂度。你能否仅使用常数空间复杂度来实现？

分析

我们可以利用双层循环以O( $n^2$)的时间复杂度，O(1)的空间复杂度来解决，但是不符合要求；当然我们也可以利用Hash字典数据结构在O(n)的时间复杂度，O(n)的空间复杂度来解决，但是依然不符合要求；

于是我们根据163题中异或的思想来解决：

1. 全部元素异或消掉出现两次的数字. 异或的结果为s.
2. 寻找s的lowbit值. lowbit(s)为s的二进制表达式中最右边的1所对应的值. 因此lowbit(s)二进制表达式中只有一个bit 1.
   lowbit(s) = s & -s
例如: s=1010
lowbit(s) = 1010 & 0110 = 0010 = 2
3. 用lowbit(s)将数组分成两组. 一组中,元素A[i] & lowbit(s) == lowbit(s), 即包含lowbit(s)的bit 1. 剩余的是另一组.
   而且,两个不同数也一定分在不同组. 因为异或值s中的bit1就是因为两个数字的不同而贡献的.
4. 同一组的元素再异或求出不同数字. 出现两次的数字, 肯定出现同一组, 异或后消除掉.也就是说结果二进制只存在一个1，就是n最低位的1.

代码

class Solution(object):
    def singleNumber(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[int]
        """
        s = 0
        for i in nums:
            s ^= i
        
        mask = s&(-s)

        res1 = 0
        res2 = 0
        for i in nums:
            if i&mask == mask:
                res1 ^= i
            else:
                res2 ^= i
        
        return res1,res2