1 堆

• 概念：一颗完全二叉树，树中的每个结点的值不大于（或不小于）其左右孩子的值。
  • 大顶堆：父结点的值大于或等于孩子结点的值，每个结点值都以它为根结点的子树的最大值；
  • 小顶堆：父结点的值小于或等于孩子结点的值，每个结点值都以它为根结点的子树最小的值。
  • 堆一般用优先队列，优先队列默认使用大顶堆，下面的讲解以大顶堆为例。

2 基本操作

2.1 建堆

• 规则：从最后一个位置开始，从右到左，从下到上。用结点x与结点x所有孩子结点比较，如果孩子结点y有大于x的值，就交换x和y为位置，交换后，让x继续与原来y结点的所有孩子比较，直到现在位置结点x的所有孩子结点值都比它小，或者没有孩子结点为止。

2.1.1存储结构

• 数组存储完全二叉树，第一个结点序号从1开始，数组i号位的左孩子结点就是（2 * i）号位，右孩子则是(2 * i + 1)号位；

const int MAXN = 110;
int heap[MAXN]; //第一个结点存储在数组中的一号位
int n;//元素个数

2.1.2 自上而下调整

//对heap数组[low,high]范围进行向下调整
//low为欲调整结点下标，high一般为堆最后一个元素下标
void downAdjust(int low, int high){
    int i = low, j = i * 2;//i：调整结点，j为其左孩子
    while(j <= high){//存在孩子结点
        //如果右孩子存在，且右孩子的值大于左孩子
        if(j + 1 <= high && heap[j + 1] > heap[j]){
            j = j + 1;//让j存储右孩子下标
        }
        //如果孩子中最大的权值比欲调整结点i大
        if(heap[j] > heap[i]){
            swap(heap[j], heap[i]);//交换最大权值孩子和欲调整结点
            i = j;
            j = i * 2;
        }else{
            break;//孩子中权值均比欲调整结点i小，调整结束
        }
    }
}

2.1.3 创建堆

//创建堆
void createHeap(){
    //序列元素个数为n的非叶子结点为[1,n/2],n/2向下取整
    //倒着枚举是因为，每次调整完一个结点后，当前子树中权值最大的结点就会处在根结点的位置
    for (int i = n / 2; i >= 1; --i)
    {
        downAdjust(i, n);
    }//结点按层序存储在数组中
}

2.2 删除堆顶元素

• 用最后一个元素覆盖堆顶元素，对根结点进行调整

//删除堆顶元素
void deleteTop(){
    heap[1] = heap[n--];
    downAdjust(1,n);
}

2.3 增加元素

2.3.1 自下往上调整

//向上调整
//一般low为1，high为欲调整的数组元素下标
void upAdjust(int low, int high){
    int i = high, j = i / 2;
    while(j >= low){//父结点在[low,high]中
        if(heap[j] < heap[i]){
            swap(heap[j], heap[i]);
            i = j;
            j = i / 2;
        }else{
            break;
        }
    }

}

2.3.2 增加一个元素

//添加元素
//放在完全二叉树的最后一个结点后面
void Insert(int x){
    heap[++n] = x;
    upAdjust(1,n);
}

2.4 堆排序

//堆排序
void heapSort(){
    createHeap();//建堆
    for (int i = n; i > 1; --i)//倒着枚举，直到堆中 只有一个元素
    {
        swap(heap[i], heap[1]);
        downAdjust(1, i - 1);//调整堆顶
    }
}

3 完整示例

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using std::swap;

const int MAXN = 110;
int heap[MAXN]= {0, 85, 55, 82, 57, 68, 92, 99, 98, 66, 56}; //第一个结点存储在数组中的一号位
int n = 10;

//对heap数组[low,high]范围进行向下调整
//low为欲调整结点下标，high一般为堆最后一个元素下标
void downAdjust(int low, int high){
    int i = low, j = i * 2;//i：调整结点，j为其左孩子
    while(j <= high){//存在孩子结点
        //如果右孩子存在，且右孩子的值大于左孩子
        if(j + 1 <= high && heap[j + 1] > heap[j]){
            j = j + 1;//让j存储右孩子下标
        }
        //如果孩子中最大的权值比欲调整结点i大
        if(heap[j] > heap[i]){
            swap(heap[j], heap[i]);//交换最大权值孩子和欲调整结点
            i = j;
            j = i * 2;
        }else{
            break;//孩子中权值均比欲调整结点i小，调整结束
        }
    }
}

//创建堆
void createHeap(){
    //序列元素个数为n的非叶子结点为[1,n/2],n/2向下取整
    //倒着枚举是因为，每次调整完一个结点后，当前子树中权值最大的结点就会处在根结点的位置
    for (int i = n / 2; i >= 1; --i)
    {
        downAdjust(i, n);
    }//结点按层序存储在数组中
}

//删除堆顶元素
void deleteTop(){
    heap[1] = heap[n--];
    downAdjust(1,n);
}

//向上调整
//一般low为1，high为欲调整的数组元素下标
void upAdjust(int low, int high){
    int i = high, j = i / 2;
    while(j >= low){//父结点在[low,high]中
        if(heap[j] < heap[i]){
            swap(heap[j], heap[i]);
            i = j;
            j = i / 2;
        }else{
            break;
        }
    }

}

//添加元素
//放在完全二叉树的最后一个结点后面
void Insert(int x){
    heap[++n] = x;
    upAdjust(1,n);
}

//堆排序
void heapSort(){
    createHeap();//建堆
    for (int i = n; i > 1; --i)//倒着枚举，直到堆中 只有一个元素
    {
        swap(heap[i], heap[1]);
        downAdjust(1, i - 1);//调整堆顶
    }
}





int main(int argc, char const *argv[])
{
    createHeap();
    //输出：99 98 92 66 68 85 82 57 55 56

    // heapSort();
    //输出：55 56 57 66 68 82 85 92 98 99

    //deleteTop();
    //输出：82 55 99 57 68 92 56 98 66

    Insert(100);
    //输出：100 99 92 66 98 85 82 57 55 56 68
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        printf("%d ", heap[i]);
    }
    return 0;
}