Polya计数

将波利亚计数定理整理在这里，作为一个总结和介绍，也方便以后复习

为什么学习Polya计数定理

通过Polya计数定理，我们可以计算等价类的数量，比如下面这个问题：

用\(m\)种颜色给一个正方形染色，如果正方形可以自由转动，求染色方案数

让我们从一些概念开始

1 等价关系

1.1 等价关系的定义

假设\(V\)是一个集合，\(S\)是定义在\(V\)上的一个关系，若\(S\)有如下性质：

• 自反性
• 传递性
• 对称性

那么， \(S\)就是一个等价关系

\(a\)和\(b\)有关系\(S\),可以记为\(aSb\)

假设定义关系\(S\)，图形\(a\)可以旋转得到\(b\) \(\Leftrightarrow\) \(aSb\)
例如图中的\(方块_1\)和\(方块_2\)具有关系\(S\)，即他们可以通过旋转得到彼此，而\(方块_1\)和\(方块_2\)则没有关系\(S\)

1.2 等价类

通过上图，可以看出来：\(方块_1\)和\(方块_2\)是同一类的，而\(方块_1\)和\(方块_2\)则是另外两类，于是可以想到集合\(V\)上的等价关系\(S\)将集合的元素划分到不同的类中，我们把它称为等价类

而包含元素\(a\)的等价类则是由满足\(aSb\)的所有元素\(b\)组成的(当然也包含元素\(a\)),即\(C(a)=\{b\in V | \ aSb\}\)

仔细想一想，不难发现两个不同等价类是不相交的

2 置换群

2.1 置换群的定义

假设\(A=\{1,2,\dotsc, n\}\)，通过置换，将\(A\)中的元素重新排列，得到另一个排列\(a_1, a_2, \dotsc, a_n\)，可以把这个过程写成

\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & \dotsc & n \\ a_1 & a_2 & \dotsc & a_n \end{matrix} \right ) \]

所以，可以将置换看成一个双射函数\(f:\{1,2,\dotsc, n\} \rightarrow \{1,2,\dotsc, n\}\)

置换之间也可进行合成运算

\[ \pi_1 = \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right ) \ \ \pi_2 = \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix} \right ) \]
\[ \pi_1 \circ \pi_2 =\left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{matrix} \right ) \]
\(\pi_1 \circ \pi_2 (1) = \pi_1(\pi_2(1))=2\)

而在置换集合\(X\)上定义的群则称为置换群，置换群也是群也要满足群的性 质

• 运算封闭 \(\pi_1 \in X, \pi_2 \in X \Rightarrow \pi_1 \circ \pi_2 \in X\)
• 满足结合律
• 有单位元，置换\(I(a)=a\)
• 有逆元，\(\pi \circ \pi^{-1} = I\)

但是置换与计算不同染色模式数量有什么关系？图形的旋转等变换都可以用一个只置换来表示

我们把1-4按顺时针放到正方形的四个方块中

\(\pi_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}\right)\)

旋转\(90^\circ\)

\(\pi_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)\)

2.2 置换群衍生的等价关系

假设\(G=(X,\circ)\)，通过置换\(\pi\in X\)，元素\(a\)可以被置换为其他元素\(\pi(a)=b\)，可以发现这里也存在一种等价关系， 可以定义等价关系\(S\):

\[ aSb \Leftrightarrow \exist \pi \in G, \pi(a)=b \]

\(\pi \in G 也可以来表示 \pi \in X\)

而包含\(a\)的等价类\(C(a)\)是由所有满足\(aSb\)的元素\(b\)组成的，因此我们也可以说
\[ C(a)=\{\pi(a) \ | \ \pi \in G\} \]

如果\(A=\{1,2,3\}\)
\(\pi_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)\)
\(\pi_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}\right)\)
\(X=\{\pi_1, \pi_2\}\),可以验证\(G=\{X,\circ\}\)是一个置换群，\(\{1,3\}\)是一个等价类，\(\{2\}\)是一个等价类

可以证明自反、对称、传递是满足的

3 伯恩赛德引理

这个定理将给出置换群衍生出的等价关系的（不同）等价关系数量的计数方法

3.1 伯恩赛德引理

假设\(G\)是一个置换群，\(a\)是\(A\)中的元素，如果\(\pi(a)=a\)，则称\(A\)中的元素\(a\)在置换\(\pi\)下是不变的(Invariant)，\(Inv(\pi)\)表示不变元素的数量

定理   假设\(G\)是一个集合\(A\)的置换群，设\(S\)是\(G\)上衍生出来的等价关系，那么\(S\)中的等价类的数量由下式给出:

\[ \frac{1}{|G|} \sum_{\pi\in G}Inv(\pi) \]

\(|G|\)是置换群中置换的数量，让我们来用一下这个定理，假设\(G\)下面的置换组成

\[ \pi_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}\right) , \pi_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{matrix}\right) , \]

\[ \pi_3=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{matrix}\right) , \pi_4=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix}\right) , \]

可以看出来，有两个等价类分别是\(\{1,2\}\)，\(\{3, 4\}\)，等价类的数量为\(2\)

可以验证\(Inv(\pi_1)=4,Inv(\pi_2)=2,Inv(\pi_3)=2,Inv(\pi_4)=0\)

\[ 等价类的数量=\frac{1}{4}(4+2+2+0)=2 \]

3.2 伯恩赛德引理的证明

Part 1

这个证明可以跳过，对后面阅读没有什么影响

对于\(A\)中的元素\(a\)，我们可以定义稳定算子(Stabilizer)的概念，\(St(a)\)是保持元素\(a\)不变的置换的集合，\(St(a)=\{\pi \in G | \pi(a) = a\}\)，

\[ \pi_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) , \pi_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}\right) , \pi_3=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right) , \]
\(St(2) = \{\pi_1\}\)，
包含\(2\)的等价类\(C(2)=\{\pi_1(2),\pi_2(2),\pi_3(2)\}=\{1, 2, 3\}\)

可以发现\(|St(2)| \times |C(2)| = |G| = 3\)，这不是巧合

引理   假设\(G\)是一个置换群，而且\(a \in A\)，那么，
\[ |St(a)| \times |C(a)| = |G| \]

让我们来简单证明这个定理

假设\(C(a)=\{b_1,b_2,\dotsb, b_r\}\)，那么存在一个\(\pi_1\)，满足\(\pi_1(a)=b_1\)，同样存在\(\pi_2(a)=b_2\),\(\dotsb\),设\(P=\{\pi_1, \pi_2, \dotsc, \pi_r\}\)，而且\(|P|=|C(a)|\)，于是转化为证明\(|St(a)|\times |P|=|G|\)

从\(G\)中选一个置换\(\pi\), \(\pi\)一定将\(a\)置换成一个元素，设该元素为\(b_k\)，即\(\pi(a)=b_k\)，

另一个方面，\(\pi_k(a)=b_k\),因此\(\pi^{-1}_k \circ \pi(a)=a\)，即\(\pi^{-1}_k \circ \pi \in St(a)\)，

\[ \pi_k \circ (\pi_k^{-1} \circ \pi) = \pi \]
这说明\(G\)中的元素\(\pi\)可以由\(St(a)\)和\(C(a)\)中的元素合成得到

然后我们再来说明这是唯一的

假设\(\pi=\pi_k\circ \gamma=\pi_l \circ \delta\) ，\(\gamma\)和\(\delta\)都在\(St(a)\)中，因此\(\pi_k \circ \gamma(a)=b_k=\pi_l \circ \delta (a)=b_l\)，因此\(l=k\)，这种组合方式是唯一的，因此\(|St(a)| \times |C(a)| = |G|\)

Part 2

让我们继续证明伯恩赛德引理

假设\(A=\{1,2,\dotsc,n\}\), \(G=\{\pi_1, \pi_2, \dotsc, \pi_m\}\)，让我们看看下面这个式子的是否成立

\[ |Inv(\pi_1)|+|Inv(\pi_2)|+\dotsb+|Inv(\pi_m)|=|St(1)|+|St(2)|+\dotsb+|St(n)| \]

可以发现都计数的是满足\(\pi(a)=a\)序对\(<\pi,a>\)的个数，因此等式是成立的

将等式两边同时除以|G|，左边就得到了伯恩赛德引理的型式，而右边，根据Part1中的引理可以转化为

\[ \frac{1}{C(1)}+\frac{1}{C(2)}+\dotsb+\frac{1}{C(n)} \ \ \ \ (1) \]

而\(C(a)\)是一个等价类，两个等价类的交集要么是全集要么是空集，假设\(C(a)=\{b_1,b_2,\dotsc, b_r\}\),那么，

\[ \frac{1}{C(b_1)}+\frac{1}{C(b_2)}+\dotsb+\frac{1}{C(b_r)}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r}+\dotsb+\frac{1}{r}=1 \]

于是(1)式计数的就是等价类的个数

4 等价着色

伯恩赛德引理和计算等价着色数量有什么关系呢?其实伯恩赛德引理不能直接帮助我们计算等价着色的数量，但是我们可以适当的定义等价关系，然后再计算等价着色的数量

假设\(C(R,D)\)使用\(R\)中的颜色，来给\(D\)中的元素染色的着色集合，

假设\(R\)是黑色和白色，\(D\)是图中的节点，那么\(C(R,D)\)是给图中节点染色的集合

\(C(R,D)=\{C_1,C_2,\dotsb, C_{16}\}\)

定义在\(C(R,D)\)上的置换\(\pi^*\)，将一种着色变为另一种着色，更形式一点，假定\(f\)是一个着色，那么新着色\(\pi^*f\)定义为\((\pi^*f)(a)\)是\(f(\pi(a))\)

同样，也可以定义\(C(R,D)\)上的置换群，\(G^*=\{\pi^* \ | \ \pi \in G\}\)，\(G\)和\(G^*\)的元素数量一样，因为\(\pi\)和\(\pi^*对应于一种相同旋转\)。\(G^*\)也可以衍生出等价关系\(S^*\)，而\(S^*\)就是我们关注的。

假设\(f,g\)是两个着色，如果有一个\(\pi \in G\)(\(\pi^*\in G^*\))，\(\pi^*f=g\)，我们就认为\(f,g\)是等价的

我们要求的\(S^*\)划分出来的等价类的数量

从上图可以看出来\(G^*\)的大小是\(3\)，设\(G^*=\{\pi_1^*,\pi_2^*,\pi_3^*\}\)，分别对应逆时针旋转\(0^\circ,120^\circ, 240^\circ\)

\[ \pi_1^*=\left(\begin{matrix} C_1 & C_2 & C_3 & C_4 &C_5 & C_6 &C_7 & C_8 &C_9 & C_{10} & C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_1 & C_2 & C_3 & C_4 &C_5 & C_6 &C_7 & C_8 &C_9 & C_{10} & C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \end{matrix}\right) \]
\[ \pi_2^*=\left(\begin{matrix} C_1 & C_2 & C_3 & C_4 &C_5 & C_6 &C_7 & C_8 &C_9 & C_{10} & C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_1 & C_3 & C_4 & C_2 &C_5 & C_8 &C_6 & C_7 &C_{10} & C_{11} & C_{9} & C_{13} & C_{14} & C_{12} & C_{15} & C_{16} \end{matrix}\right) \]
\[ \pi_3^*=\left(\begin{matrix} C_1 & C_2 & C_3 & C_4 &C_5 & C_6 &C_7 & C_8 &C_9 & C_{10} & C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_1 & C_4 & C_2 & C_3 &C_5 & C_7 &C_8 & C_6 &C_{11} & C_{9} & C_{10} & C_{14} & C_{12} & C_{13} & C_{15} & C_{16} \end{matrix}\right) \]
\(Inv(\pi_1^*)=16,Inv(\pi_2^*)=4,Inv(\pi_2^*)=4\)

根据伯恩赛德引理，

\[ 等价着色的个数=\frac{1}{3}(16+4+4)=8 \]
可以从上图中验证这个结果的正确性，为了与\(S\)中的等价类区分，我们称\(S^*\)中等价类为模式

通过枚举\(C(R,D)\)中的元素，再枚举\(\pi^*\)计算\(Inv(\pi^*)\)过于麻烦，可以直接计算\(Inv(\pi^*)\)，于是有了下面的定理

5 Polya定理的特殊情况

5.1 循环分解

让我们再回到置换，设置换\(\pi_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{matrix}\right)\)
让我们不断地重复这个置换，那么可以找到循环节\(1\rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 1\)，那我们就把\(\pi\)简写\((12345)\)

再比如\(\pi_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 3 & 2 & 4 \end{matrix}\right)\)
可以简写成\((152)(364)\)，这一过程被称为循环分解

定义\(cyc(\pi)\)是\(\pi\)循环分解中循环节的数量，比如\(cyc(\pi_1)=1，cyc(\pi_2)=2\)

5.2 Polya 计数的特殊情况

定理   假设\(G\)是集合\(D\)的置换群，且\(C(R,D)\)是使用\(R\)中颜色给\(D\)中元素染色的集合，\(R\)中颜色的数量的\(m\),\(C(R,D)\)中不同着色数量(\(S^*\)中等价类的数量)由下式给出：

\[ \frac{1}{|G|} (m^{cyc(\pi_1)}+m^{cyc(\pi_2)}+\dotsb+m^{cyc(\pi_k)}) \]
其中\(G=\{\pi_1, \pi_2, \dotsb, \pi_k\}\)

让我们用这个定理再算一次等价着色的个数，假定将中间的点记为\(1\)号

\(0^\circ旋转，\pi_1=(1)(2)(3)(4)\)
\(120^\circ， \pi_2=(1)(234)\)
\(240^\circ， \pi_3=(1)(234)\)

\[ 等价着色的个数=\frac{1}{3}(2^4+2^2+2^2)=8 \]

5.3 循环指标\(P_G\)

如果可以用一个生成函数来描述一个置换群，那将很有用，这将引出更一般的波利亚计数定理，因此有了循环指标\(P_G\)的概念

假设\(\pi=(1)(23)(45)(6)(789)(10)\)，可以将他编码为\(x_1^3x_2^2x_3\)

可以看出来编码方式，\(x_i\)代表长度为\(i\)的循环节，\(x_i\)的幂次\(b\)代表有多少个长度为\(i\)的循环节

于是可以用每个置换编码的和再除以\(|G|\),

\[ P_G(x_1,x_2,\dotsc,x_k)=\frac{1}{G}\sum_{\pi\in G} x_1^{b_1}x_2^{b_2}\dotsb x_k^{b_k} \]
来编码一个置换群

对5.2的例子中的置换群进行编码，\(P_G=\frac{1}{3}(x_1^4+x_1x_3+x_1x_3)\)

而且，波利亚计数的特殊情况就是\(P_G\)中\(x_1,x_2,\dotsc,x_k\)都取\(m\)的情况

5.4 Polya计数特殊情况的证明

同样可以跳过这一部分

将Polya计数特殊情况的公式与伯恩赛德引理对比，因此只要证明\(m^{cyc(\pi)}=Inv(\pi^*)\)

考虑一个具体的情况，假定\(\pi=(1)(23)(456)(7)\)，经过置换2，3的颜色交换，\(4,5,6\)将颜色给下一个，若\(f\)是一个着色，要让\(\pi^*(f)=f\)，那么\(f\)在每个循环节中的染色要一致，因此一共有\(m^{cyc(\pi)}\)这么多\(f\)

6 Polya计数定理

为什么还有这个？
如果要求必须要用黑色\(k\)次，或者至少一次黑色，上面的定理就不好用了

6.1 给颜色加权

假设着色\(f\)给\(D\)染色，使用红色\(t_1\)次，绿色\(t_2\)次，蓝色\(t_3\)次

假定红色的权值\(w\)为\(r\),绿色\(g\),蓝色\(b\)，

那么着色\(f\)的权\(W(f)=r^{t_1}g^{t_2}b^{t_3}\)，而如果染色\(f,g\)是等价的，那么他们的权是相等的

于是，我们也可以定义一个着色等价类(模式)的权等于不同等价类的权之和，把这个称为着色等价类（模式）的权，或者模式集合的目录，因为他概括了模式的染色方式

我们再来考虑5.2中的例子，模式目录是

\[ w^4+2w^3b+2w^2b^2+2wb^3+b^4 \]

所有系数之和等于不同等价类的个数，

如果要求用了2个白色两个黑的着色方案数，可通过\(w^2b^2\)前的系数得知是2种

下面的定理将给出计算模式目录的方法

6.2 Polya定理内容

定理   假设\(G\)是集合\(D\)上的置换群，而\(C(R,D)\)是用\(R\)中的颜色给\(D\)着色的集合，\(w\)是颜色的权值，那么\(C(R,D)的着色的模式目录为\)：

\[ P_G\bigg(\sum_{r\in R}w(r),\sum_{r\in R}w^2(r),\dotsb,\sum_{r\in R}w^k(r)\bigg) \]
其中\(P_G(x_1,x_2,\dotsb,x_k)\)是循环指标

再回到之前的例子
我们已经知道\(P_G=\frac{1}{3}(x_1^4+x_1x_3+x_1x_3)\)
假定我们用白，黑染色，权值分别为\(w,b\)
\[ \sum_{r\in R}w(r)=w+b,\sum_{r\in R}w^3(r)=w^3+b^3 \]
带入\(P_G\)
\[ \frac{1}{3}[(w+b)^4+2(w+b)(w^3+b^3)] \]

通过对颜色权值的简单赋值就能的要一些有用的结论

• 如果想知道以用有多少种染色模式，那么只要把所有的权值都设为\(1\)
• 如果不想用某一颜色，就把颜色设为\(0\)，其他颜色设为\(1\)
• 如果想知道用某个颜色\(k\)次的模式数，就把其他颜色设为\(1\)，求改颜色权值幂次为\(k\)前的系数
• . . .

QAQ, 终于写完了。。。