套利定价理论简单介绍

套利定价理论的应用——构建套利组合

套利组合的三个特征：

  假设一个组合中有三种证券，并且满足套利定价组合，加入证券1和证券2收益率高，而证券3收益率低（价格偏高）。由于每个投资者必定买入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的期望收益率做出相应的调整。具体来说由于不断增加的买方压力，证券1和证券2的价格将上升，进而导致期望收益率的下降，相反证券3的价格下降和期望收益率上升。下面以一个例子来说明套利组合的构建：
  例：证券市场有3个证券其收益率分别记为r₁，r₂，r₃，经验表明它们受两个市场因子F₁、F₂的影响，且各因子的收益率为20%和8%。下表给出了这三个证券的收益率及其与市场因子收益率影响程度的因子β_i1和β_i2（i=1,2,3）的客观统计估计值，若无风险利率为2%，问是否存在套利机会？试构建套利组合。

from scipy import optimize
rf=0.1;pre1=0.2-rf;pre2=0.08-rf
r1=rf+0.5*pre1+2*pre2
r2=rf+1*pre1+1.5*pre2
r3=rf+1.5*pre1+1*pre2
print(round(r1,2),round(r2,2),round(r3,2))

0.11 0.17 0.23

  我们发现证券1和证券3的客观估计值的期望收益率与无套利条件下的期望收益率相同，因此交易这两种证券无套利机会。而证券2的E(R₂)=25%>17%，目前价格偏低，所以通过卖出适当比例的证券1和证券3，并投资于证券2可以构成套利组合。下面构造套利组合，先看看能不能求出一个利润率最高的套利组合：

fun=lambda x:-(x[0]*0.11+x[1]*0.25+x[2]*0.23)
cons=({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]*0.5+x[1]*1+x[2]*1.5}, 
        {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]*2+x[1]*1.5+x[2]*1},
        {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]+x[1]+x[2]})
bnds=((None,0),(0,None),(None,0))#卖出证券1和3，因此它们的配置数量一定为负
result=optimize.minimize(fun,[-1/3,2/3,-1/3],method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
result
Out[2]: 
     fun: -0.053333333333333344
     jac: array([-0.11, -0.25, -0.23])
 message: 'Singular matrix C in LSQ subproblem'
    nfev: 5
     nit: 1
    njev: 1
  status: 6
 success: False
       x: array([-0.33333333,  0.66666667, -0.33333333])

  虽然求出了结果但是提示最优化求解未成功，因为结果只与初始猜测解有关。由于求解的是线性方程的最值，下面使用scipy.optimize的linprog函数来求解该线性规划问题，格式为linprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None…），参数分别表示要求min的方程系数、不等式（<）的系数和常数数组、等式的系数和常数数组、求解变量的边界条件等。

import numpy as np
c=np.array([-0.11,-0.25,-0.23])
a=np.array([[0.5,1,1.5],[2,1.5,1],[1,1,1]])
b=np.array([0,0,0])
r=linprog(c,A_eq=a,b_eq=b,bounds=((None,0),(0,None),(None,0)))
print(r)
     fun: -0.0
 message: 'Optimization failed. The problem appears to be unbounded.'
     nit: 2
   slack: array([0., 0.])
  status: 3
 success: False
       x: array([0., 0., 0.])

  可以看到在现有约束下仍然不能求出一个最优套利组合。实际上该题中满足套利组合三个特征的x数组有无数多个，所以套利组合也可以构建很多个，比如x¹=(-1/3,2/3,-1/3)、x²=(-1/4,1/2,-1/4)，x³=(-1/2,1,-1/2)对应的套利收益率为5.33%、4%和8%。