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我们常说工作中遇不到数据结构和算法,其实是我们主动或无意识过滤掉这样的机会。
前言
整理自:https://github.com/foreverZ133/Beauty-of-Data-Structure-and-Algorithms
如何学习
学习 栈(stack)
有什么用呢?为了回答这个问题,我们先来讨论一个浏览器的前进、后退功能。
当你依次访问完一串页面 a-b-c
之后,点击浏览器的后退按钮,就可以查看之前浏览过的页面 b 和 a。当你后退到页面 a,点击前进按钮,就可以重新查看页面 b 和 c。但是,如果你后退到页面 b 后,点击了新的页面 d,那就无法再通过前进、后退功能查看页面 c 了。
假设你是 Chrome 浏览器的开发工程师,你会如何实现这个功能呢?
这就要用 栈 这种数据结构。
理解栈结构
- 关于
栈
,就像一摞盘子。
平时放盘子,都是从下往上一个一个放;取的时候,也是从上往下一个一个地依次取,不能从中间任意抽出。后进者先出,先进者后出,这就是典型的 栈 结构。
- 从
栈
的操作特性上来看,栈是一种“操作受限”的线性表,只允许在一端插入和删除数据。
相比数组和链表,栈带限制很多,并没有任何优势。直接使用数组或者链表不就好了吗?为什么还要用这个“操作受限”的“栈”呢?
-
事实上,从功能上来说,数组或链表确实可以替代栈,但特定的数据结构是对特定场景的抽象,而且,数组或链表暴露了太多的操作接口,操作上的确灵活自由,但使用时就比较不可控,自然也就更容易出错。
-
当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据,并且满足后进先出、先进后出的特性,我们就应该首选
栈
这种数据结构。
实现一个栈
栈主要包含两个操作,入栈和出栈,也就是在栈顶插入一个数据和从栈顶删除一个数据。理解了栈的定义之后,我们来看一看如何用代码实现一个栈。
实际上,栈既可以用数组来实现,也可以用链表来实现。用数组实现的栈,我们叫作顺序栈,用链表实现的栈,我们叫作链式栈。
基于链表的链式栈 – java
public class StackBasedLinkedList {
private Node top = null;
public void push(int value) {
Node newNode = new Node(value, null);
// 判断是否栈空
if (top == null) {
top = newNode;
} else {
newNode.next = top;
top = newNode;
}
}
/**
* 我用-1表示栈中没有数据。
*/
public int pop() {
if (top == null) return -1;
int value = top.data;
top = top.next;
return value;
}
public void printAll() {
Node p = top;
while (p != null) {
System.out.print(p.data + " ");
p = p.next;
}
System.out.println();
}
private static class Node {
private int data;
private Node next;
public Node(int data, Node next) {
this.data = data;
this.next = next;
}
public int getData() {
return data;
}
}
}
基于数组的顺序栈 – java
// 基于数组实现的顺序栈
public class ArrayStack {
private String[] items; // 数组
private int count; // 栈中元素个数
private int n; // 栈的大小
// 初始化数组,申请一个大小为 n 的数组空间
public ArrayStack(int n) {
this.items = new String[n];
this.n = n;
this.count = 0;
}
// 入栈操作
public boolean push(String item) {
// 数组空间不够了,直接返回 false,入栈失败。
if (count == n) return false;
// 将 item 放到下标为 count 的位置,并且 count 加一
items[count] = item;
++count;
return true;
}
// 出栈操作
public String pop() {
// 栈为空,则直接返回 null
if (count == 0) return null;
// 返回下标为 count-1 的数组元素,并且栈中元素个数 count 减一
String tmp = items[count-1];
--count;
return tmp;
}
}
时间空间复杂度
空间复杂度分析
了解了定义和基本操作,那它的操作的 时间、空间复杂度
是多少呢?
不管是顺序栈还是链式栈,存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中,只需要一两个临时变量存储空间,所以空间复杂度是 O(1)。
注意,这里存储数据需要一个大小为 n 的数组,并不是说空间复杂度就是 O(n)。因为,这 n 个空间是必须的,无法省掉。所以我们说空间复杂度的时候,是指除了原本的数据存储空间外,算法运行还需要额外的存储空间。
时间复杂度分析
空间复杂度分析是不是很简单?时间复杂度也不难。不管是顺序栈还是链式栈,入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作,所以时间复杂度都是 O(1)。
支持动态扩容的顺序栈
-
上面基于数组实现的栈,是一个固定大小的栈;在初始化栈时需要事先指定栈的大小。当栈满之后,就无法再往栈里添加数据了。尽管链式栈的大小不受限,但要存储 next 指针,内存消耗相对较多。那如何基于数组实现一个可以支持动态扩容的栈呢?
-
在数组那一节,当数组空间不够时,就重新申请一块更大的内存,将原来数组中数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。
-
所以,如果要实现一个
支持动态扩容的栈
,只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。当栈满了之后,就申请一个更大的数组,将原来的数据搬移到新数组中。
时间复杂度
实际上,支持动态扩容的顺序栈,平时开发中并不常用到。主要还是练习一下前面讲的复杂度分析方法。
你不用死记硬背入栈、出栈的时间复杂度,你需要掌握的是 分析方法。能够自己分析才算是真正掌握了。现在我就带你分析一下支持动态扩容的顺序栈的入栈、出栈操作的时间复杂度。
- 对于 出栈 操作来说,不会涉及内存的重新申请和数据的搬移,所以出栈的时间复杂度仍然是
O(1)
。 - 对于 入栈 操作来说,情况就不一样了。当栈中有空闲空间时,入栈操作的时间复杂度为
O(1)
。但当空间不够时,就需要重新申请内存和数据搬移,所以时间复杂度就变成了O(n)
。
也就是说,对于入栈操作来说,最好情况时间复杂度是 O(1),最坏情况时间复杂度是 O(n)。那 平均情况下的时间复杂度 又是多少呢?还记得我们在复杂度分析那一节中讲的 摊还分析法 吗?这个入栈操作的平均情况下的时间复杂度可以用摊还分析法来分析。
摊还分析法
-
为了分析的方便,我们需要事先做一些假设和定义:
- 栈空间不够时,重新申请一个是原来大小两倍的数组;
- 为了简化分析,假设只有入栈操作没有出栈操作;
- 定义不涉及内存搬移的入栈操作为
simple-push
操作,时间复杂度为O(1)
。
-
如果当前栈大小为
K
,并且已满,当再有新的数据要入栈时,就需要重新申请2
倍大小的内存,并且做K
个数据的搬移操作,然后再入栈。但是,接下来的K-1
次入栈操作,我们都不需要再重新申请内存和搬移数据,所以这K-1
次入栈操作都只需要一个simple-push
操作就可以完成。
3. 这 K
次入栈操作,总共涉及了 K
个数据的搬移,以及 K
次 simple-push
操作。将 K 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作,那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推,入栈操作的均摊时间复杂度就为 O(1)
。
通过这个例子的实战分析,也印证了前面讲到的,均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下,入栈操作的时间复杂度 O 都是 O(1),只有在个别时刻才会退化为 O(n),所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上,平均情况下的耗时就接近 O(1)。
应用
栈在函数调用中的应用
现在看下,栈在软件工程中的实际应用。栈作为一个比较基础的数据结构,应用场景还是蛮多的。其中,比较经典的一个应用场景就是 函数调用栈。
- 操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间,这块内存被组织成
栈
这种结构,用来存储函数调用时的临时变量
; - 每进入一个函数,就会将临时变量作为一个
栈帧入栈
,当被调用函数执行完成,返回之后,将这个函数对应的栈帧出栈
; - 来看下这段代码的执行过程:
int main() {
int a = 1;
int ret = 0;
int res = 0;
ret = add(3, 5);
res = a + ret;
printf("%d", res);
reuturn 0;
}
int add(int x, int y) {
int sum = 0;
sum = x + y;
return sum;
}
- 从代码中看出,main() 函数调用了 add() 函数,获取计算结果,并且与临时变量 a 相加,最后打印 res 的值。图中显示的是,在执行到 add() 函数时,函数调用栈的情况:
栈在表达式求值中的应用
再来看栈的另一个常见的应用场景,编译器如何利用栈来实现 表达式求值。
- 为了方便解释,将算术表达式简化为只包含加减乘除四则运算,比如:
34+13*9+44-12/3
;
对于这个四则运算,我们人脑可以很快求解出答案,但是对于计算机来说,理解这个表达式本身就是个挺难的事儿。如果换作你,让你来实现这样一个表达式求值的功能,你会怎么做呢?
-
实际上,编译器就是通过 两个栈 来实现的。其中一个 保存操作数 的栈,另一个是 保存运算符 的栈。我们从左向右遍历表达式,当遇到数字,我们就直接压入操作数栈;当遇到运算符,就与运算符栈的栈顶元素进行比较。
-
如果比运算符栈顶元素的优先级高,就将当前运算符压入栈;如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同,从运算符栈中取栈顶运算符,从操作数栈的栈顶取 2 个操作数,然后进行计算,再把计算完的结果压入操作数栈,继续比较。
我将 3+5*8-6
这个表达式的计算过程画成了一张图,你可以结合图来理解我刚讲的计算过程。
栈在括号匹配中的应用
除了用栈来实现表达式求值,还可以借助栈来检查 表达式中的括号是否匹配。
同样简化背景。我们假设表达式中只包含三种括号,圆括号 ()、方括号 [] 和花括号{},并且它们可以任意嵌套。比如,{[{}]}或 [{()}([])] 等都为合法格式,而{[}()] 或 [({)] 为不合法的格式。
一个包含三种括号的表达式字符串,如何检查它是否合法呢?
用 栈 来解决。我们用栈来保存未匹配的左括号,从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时,则将其压入栈中;当扫描到右括号时,从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配,比如“(”跟“)”匹配,“[”跟“]”匹配,“{”跟“}”匹配,则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中,遇到不能配对的右括号,或者栈中没有数据,则说明为非法格式。
当所有的括号都扫描完成之后,如果栈为空,则说明字符串为合法格式;否则,说明有未匹配的左括号,为非法格式。
浏览器的进退实现
使用两个栈,X 和 Y,我们把首次浏览的页面依次压入栈 X,当点击后退按钮时,再依次从栈 X 中出栈,并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时,我们依次从栈 Y 中取出数据,放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时,那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据,那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。
- 比如你顺序查看了 a,b,c 三个页面,我们就依次把 a,b,c 压入栈,这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
- 点击浏览器的后退按钮,从页面 c 后退到页面 a 之后,就依次把 c 和 b 从栈 X 中弹出,并且依次放入到栈 Y。这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
- 这个时候你又想看页面 b,于是你又点击前进按钮回到 b 页面,我们就把 b 再从栈 Y 中出栈,放入栈 X 中。此时两个栈的数据是这个样子:
- 这个时候,你通过页面 b 又跳转到新的页面 d 了,页面 c 就无法再通过前进、后退按钮重复查看了,所以需要清空栈 Y。此时两个栈的数据这个样子:
总结
- 栈是一种操作受限的数据结构,只支持
入栈和出栈
操作。 后进先出
是它最大的特点。- 栈既可以通过
数组
实现,也可以通过链表
来实现。 - 不管基于数组还是链表,入栈、出栈的时间复杂度都为
O(1)
。 - 支持 动态扩容的顺序栈,需要重点掌握它的均摊时间复杂度分析方法。