本章中我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立计算这些几何、物理量的公式，更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法。——高等数学同济版

习题6-1 定积分的元素法

在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。——高等数学同济版

  本节主要介绍定积分的元素法。

习题6-2 定积分在几何学上的应用

  本节主要介绍将定积分应用于解析几何。

6.求由摆线 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$的一拱 $(0\leqslant t\leqslant2\pi)$与横轴所围成的图形的面积。

解  以 $x$为积分变量，则 $x$的变化范围为 $[0,2\pi a]$，设摆线上的点为 $(x,y)$，则所求面积为
$A=\displaystyle\int^{2\pi a}_0y\mathrm{d}x.$
  再根据参数方程换元，令 $x=a(t-\sin t)$，则 $y=a(1-\cos t)$，因此有
$\begin{aligned} A&=\displaystyle\int^{2\pi}_0a^2(1-\cos t)^2\mathrm{d}t=a^2\displaystyle\int^{2\pi}_0(1-2\cos t+\cos^2t)\mathrm{d}t\\ &=4a^2\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0(1+\cos^2t)\mathrm{d}t=3\pi a^2. \end{aligned}$
（这道题展示了参数方程求平面面积的方法）

8.求下列各曲线所围成图形的公共部分：

（1） $\rho=3\cos\theta$及 $\rho=1+\cos\theta$；

解  首先求出两曲线交点为 $\left(\cfrac{3}{2},\cfrac{\pi}{3}\right)$、 $\left(\cfrac{3}{2},-\cfrac{\pi}{3}\right)$，由于图形关于极轴的对称性（如下图），因此所求面积为极轴上面部分的两倍，即得
$A=2\left[\displaystyle\int^{\frac{\pi}{3}}_0\cfrac{1}{2}(1+\cos\theta)^2\mathrm{d}\theta+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}\cfrac{1}{2}(3\cos\theta)^2\mathrm{d}\theta\right]=\cfrac{5\pi}{4}.$

（这道题主要考察对于图像图形的理解）

（2） $\rho=\sqrt{2}\sin\theta$及 $\rho^2=\cos2\theta$；

解  首先求出两曲线交点为 $\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{\pi}{6}\right)$和 $\left(\cfrac{\sqrt{2}}{2},\cfrac{5\pi}{6}\right)$，由于图形的对称性（如下图），因此有
$A=2\left[\displaystyle\int^{\frac{\pi}{6}}_0\cfrac{1}{2}(\sqrt{2}\sin\theta)^2\mathrm{d}\theta+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{6}}\cfrac{1}{2}\cos\theta\mathrm{d}\theta\right]=\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{1-\sqrt{3}}{2}.$

（这道题主要考察图像的对称性）

27.在摆线 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$上分别求分摆线第一拱成 $1:3$的点的坐标。

解  对应于摆线第一拱的参数 $t$的范围为 $[0,2\pi]$，参数 $t$在范围 $[0,t_0]$时摆线的长度为
$\begin{aligned} s_0&=\displaystyle\int^{t_0}_0\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\mathrm{d}t=a\displaystyle\int^{t_0}_02\sin\cfrac{t}{2}\mathrm{d}t\\ &=4a\left(1-\cos\cfrac{t_0}{2}\right). \end{aligned}$
  当 $t_0=2\pi$时，长度为 $8a$，故所求点对应的参数 $t_0$满足 $4a\left(1-\cos\cfrac{t_0}{2}\right)=2a$，解得 $t_0=\cfrac{2\pi}{3}$，从而得到点的坐标为 $\left(\left(\cfrac{2\pi}{3}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)a,\cfrac{3a}{2}\right)$。（这道题在确定总长度容易出错）

习题6-3 定积分在物理学上的应用

  本节主要介绍了定积分在物理学尤其是动力学、压力和引力上的应用。

总习题六

4.求由曲线 $\rho=a\sin\theta$及 $\rho=a(\sin\theta+\cos\theta)$所围成的公共图形的面积。

解  首先求出两曲线的交点，联立方程 $\begin{cases}\rho=a\sin\theta,\\\rho=a(\sin\theta+\cos\theta),\end{cases}$解得交点坐标为 $\left(a,\cfrac{\pi}{2}\right)$，注意到当 $\theta=0$时， $\rho=a\sin\theta=0$，当 $\theta=\cfrac{3\pi}{4}$时， $\rho=a(\sin\theta+\cos\theta)=0$，故两曲线分别过 $(0,0)$和 $\left(0,\cfrac{3\pi}{4}\right)$，即都过极点（如下图），因此所求面积为
$\begin{aligned} A&=\displaystyle\int^{\frac{3\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}}\cfrac{1}{2}[a(\sin\theta+\cos\theta)]^2\mathrm{d}\theta+\cfrac{1}{2}\pi\left(\cfrac{a}{2}\right)^2\\ &=\cfrac{a^2}{2}\displaystyle\int^{\frac{3\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}}(1+\sin2\theta)\mathrm{d}\theta+\cfrac{\pi a^2}{8}\\ &=\cfrac{a^2}{4}(\pi-1). \end{aligned}$

（这道题先求解交点，画出大概的图形，再计算面积）

5.如下图所示，从下到上依次有三条曲线： $y=x^2,y=2x^2$和 $C$，假设对曲线 $y=2x^2$上任一点 $P$，所对应的面积 $A$和 $B$恒相等，求曲线 $C$的方程。

解  设曲线 $C$的方程为 $x=f(y)$， $P$点坐标为 $\left(\sqrt{\cfrac{y}{2}},y\right)$，则
$A=\displaystyle\int^y_0\left[\sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)\right]\mathrm{d}y,\qquad B=\displaystyle\int^{\frac{y}{2}}_0(2x^2-x^2)\mathrm{d}x.$
  根据条件，对任意 $y\geqslant0$都有
$\displaystyle\int^y_0\left[\sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)\right]\mathrm{d}y=\displaystyle\int^{\frac{y}{2}}_0(2x^2-x^2)\mathrm{d}x.$
  上式对 $y$求导，得
$\sqrt{\cfrac{y}{2}}-f(y)=\cfrac{y}{2}\cdot\cfrac{1}{2\sqrt{2y}}.$
  因此
$f(y)=\cfrac{3\sqrt{2y}}{8}.$
  即曲线为 $x=\cfrac{3\sqrt{2y}}{8}$或 $y=\cfrac{32}{9}x^2.$

（这道题主要利用积分再求导简化计算）

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  另，基本初等函数图形及常用曲线的图像见附录二。