注：2019-09-09，我的学习路程真是挺好玩，半路折回来要补一补算法知识。
为了提高效率，选择了北大数据结构与算法公开课，而不是自学或者好评更多的其他国外课程【听力比教差，费劲且没必要】

1，数字三角形问题

因为是学习日志，这里不做介绍，只写代码【cpp/python】。建议看到我博客的倒霉蛋，直接去课程听讲 点这里

1-1：基于深度优先的普通递归

复杂度：0( $2^n$) 很差，递归涉及到了大量的重复计算

#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;

int MaxSum(int i, int j){
	if (i == n)
		return D[i][j];
	int maxa = MaxSum(i, j);
	int maxb = MaxSum(i, j+1);
	
	return max(maxa, maxb) + D[i][j];
		 
}

int main(){
	int i, j;
	cin n;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=i; j++)
			cin >> D[i][j];
	
	cout << MaxSum(1, 1) << endl;		
	return 0;
}
  

1-2 动态法【添加额外数组进行存储】

复杂度：0( $n^2$)
这里回想一下大一寒假在小甲鱼那初学python的时候，一道比较难的课后习题，我就是使用了额外数组保存的方法，当时印象很深。所以一直有种感觉，很多知识你其实是知道的，之前也是不经意间用过，而系统的学习这些课程，会给你一种 this feeling i can not describe…

代码改进：
注意：maxSum的元素是当前位置遍历到最后一行的值！（深度优先）

int D[MAX][MAX];
int maxSum[MAX][MAX]; // 改动
int n;

int MaxSum(int i, int j){
	if (maxSum[i][j] != -1)   //改动
		return maxSum[i][j]; // 因为已经计算过，直接返回 
	if (i == n)
		return D[i][j];
	int maxa = MaxSum(i, j);
	int maxb = MaxSum(i, j+1);
	
	return max(maxa, maxb) + D[i][j];
		 
}

int main(){
	int i, j;
	cin n;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=i; j++)
			cin >> D[i][j];
			maxSum[i][j] = -1; //  改动，初始化所有结果皆为-1，方便后面函数判断 
	
	cout << MaxSum(1, 1) << endl;		
	return 0;
}

可以看出，以空间复杂度为代价优化了时间复杂度，不过并不亏

2 递推法

递归这玩意，… 不多说了，装哔小能手吧
递推主要思想：自底向上计算，因为如果按照自顶向下会有很多分叉，根本无法递推实现，或者又要走重复计算的老路子

我直接截图了，老师对不起

代码（个人），初学cpp，最好别看：

#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int maxSum[MAX][MAX];
int n;
// 递推-自底向上
int MaxSum(int D[][], int maxSum[][], int n){
	
	for (i = n-1; i>=1; --i)
		for (j = 1; j<=n; ++j)
			if (i == n)
				maxSum[i][j] = D[i][j];
			else	
				maxSum[i][j] = 
					max(maxSum[i+1][j], maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
	return maxSum[1][1];
		
}

int main(){
	int i, j;
	cin >> n;
	// 初始化数字三角形 
	for(i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=i; j++)
			cin >> D[i][j];
	
	cout << MaxSum(D, maxSum, n) << endl;
	return 0; 
} 

3结合指针递推

优化空间，时间复杂度不变
主要是，不再额外的创建二维数组来保存结果，因为是自底向上的原因，下面一行在计算之后就不再使用，所以没必要保存，所以这里将三角形的底边作为存储的地方，并且不影响结果【每次的结果都保存在底边】，实现了 时间，空间的优化

# define Max 101
int main()
{
	int D[Max][Max];
	int n;
	int * maxSum;
	
	cin >> n;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=i; j++)
			cin >> D[i][j];
			
	maxSum = D[n]; // maxSum指针定位到D的第n行
	for (int i=n-1; i>=1; --i)
		for (int j=1; j<=i; ++j)
			maxSum[j] = max(maxSum[j], maxSum[j+1]) + D[i][j]; 
	cout << maxSum[1] << endl;
	return 0;
  }  

4 python版

写到最后怎么能少得了我的母语呢 ：）

import numpy as np
D = np.random.randint(10, size=(5, 5)).tolist()  #随机初始化矩阵
D = np.tril(D, 0)  #设置为下三角矩阵
for i in range(len(D)-2, -1, -1):  #  直接在原矩阵上计算
    for j in range(i+1):
        D[i][j] = max((D[i][j]+D[i+1][j]), (D[i][j]+D[i+1][j+1]))

总结：人生苦短，我用python