本文用于学习中的记录，会在复习的过程中不断修订。
What is 拉普拉斯变换？
∞
\infty
∞ 一.
1.1定义傅里叶正变换：
F
(
ω
)
F(ω)
F ( ω )
F
[
f
(
t
)
]
\mathscr{F}[f(t)]
F [ f ( t ) ]
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t
在傅氏变换的基础上，去掉t<0时的实轴范围，并对于复参数s=β+jω,
F
(
S
)
F(S)
F ( S )
L
[
f
(
t
)
]
\mathscr{L}[f(t)]
L [ f ( t ) ]
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt
∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t
我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换
例：
我们引入一个单位阶跃函数
u
(
t
)
u(t)
u ( t )
L
[
u
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
u
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
1
s
(
R
e
s
>
0
)
\mathscr{L}[u(t)]=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}\qquad(Re s > 0)
L [ u ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ u ( t ) e − s t d t = s 1 ( R e s > 0 )
e
−
s
t
e^{-st}
e − s t
f
(
t
)
=
u
(
t
)
f(t)=u(t)
f ( t ) = u ( t )
e
−
s
t
e^{-st}
e − s t
1
s
\frac{1}{s}
s 1
1.2与傅氏变换的关系
通过刚才引入的阶跃函数
u
(
t
)
u(t)
u ( t )
F
(
S
)
F(S)
F ( S )
=
=
=
L
[
f
(
t
)
]
\mathscr{L}[f(t)]
L [ f ( t ) ]
=
=
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt
∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
u
(
t
)
e
−
β
t
⋅
e
−
j
ω
t
d
t
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-βt}·e^{-jωt}dt
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) u ( t ) e − β t ⋅ e − j ω t d t
\qquad
\,\,\,\,\,\,\,\,\quad
=
=
=
F
(
β
+
j
ω
)
F(β+jω)
F ( β + j ω )
=
=
=
L
[
f
(
t
)
u
(
t
)
e
−
β
t
]
\mathscr{L}[f(t)u(t)e^{-βt}]
L [ f ( t ) u ( t ) e − β t ]
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
傅里叶逆变换：
f
(
t
)
f(t)
f ( t )
=
=
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
\frac{1} {2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jωt}dω
2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω
将式1代入傅氏逆变换有
f
(
t
)
u
(
t
)
e
−
β
t
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
β
+
j
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
f(t)u(t)e^{-βt}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(β+jω)e^{jωt}dω
f ( t ) u ( t ) e − β t = 2 π 1 ∫ − ∞ + ∞ F ( β + j ω ) e j ω t d ω
两边同乘
e
j
ω
t
e^{jωt}
e j ω t
f
(
t
)
u
(
t
)
=
1
2
π
j
∫
β
−
j
∞
β
+
j
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
f(t)u(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds
f ( t ) u ( t ) = 2 π j 1 ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s
阶跃函数u(t)也就是t>0式为1，去掉
即拉普拉斯变换的反演积分公式
f
(
t
)
=
1
2
π
j
∫
β
−
j
∞
β
+
j
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
f(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds
f ( t ) = 2 π j 1 ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s
(
t
>
0
)
\qquad(t>0)
( t > 0 )
二.
2.1 线性性质
L
[
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
]
=
α
F
(
s
)
+
β
G
(
s
)
\mathscr{L}[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)
L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = α F ( s ) + β G ( s )
L
−
1
[
α
F
(
t
)
+
β
G
(
t
)
]
=
α
f
(
t
)
+
β
g
(
t
)
\mathscr{L}^{-1}[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)
L − 1 [ α F ( t ) + β G ( t ) ] = α f ( t ) + β g ( t )
应用：可以快速求解
cos
ω
t
\cosωt
cos ω t
sin
ω
t
\sinωt
sin ω t
2.2 相似性质
L
[
f
(
α
t
)
]
=
1
α
F
(
s
α
)
\mathscr{L}[f(αt)]=\frac{1}{α}F(\frac{s}{α})
L [ f ( α t ) ] = α 1 F ( α s )
2.3 微分性质
导数的像函数：
L
[
f
′
(
t
)
]
=
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)
L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 )
L
[
f
(
n
)
(
t
)
]
=
s
n
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
s
n
−
2
f
′
(
0
)
−
⋅
⋅
⋅
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\,···\,-f^{(n-1)}(0)
L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋅ ⋅ ⋅ − f ( n − 1 ) ( 0 )
应用：求解微分方程组的初值问题；求解幂函数
f
(
t
)
=
t
m
f(t)=t^m
f ( t ) = t m
像函数的导函数：
F
′
(
s
)
=
−
L
[
t
f
(
t
)
]
F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]
F ′ ( s ) = − L [ t f ( t ) ]
F
(
n
)
(
s
)
=
(
−
1
)
n
L
[
t
n
f
(
t
)
]
F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\,\mathscr{L}[t^nf(t)]
F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ]
应用：求
t
sin
ω
t
t\sinωt
t sin ω t
t
2
c
o
s
2
t
t^2cos^2t
t 2 c o s 2 t
2.4 积分性质
积分的像函数：
L
[
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
]
=
1
s
F
(
s
)
\mathscr{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)
L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = s 1 F ( s )
L
∫
0
t
d
t
∫
0
t
d
t
⋅
⋅
⋅
[
∫
0
t
f
(
t
)
d
t
]
=
1
s
n
F
(
s
)
\mathscr{L}{\int_0^tdt}{\int_0^tdt\,···\,}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)
L ∫ 0 t d t ∫ 0 t d t ⋅ ⋅ ⋅ [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = s n 1 F ( s )
应用：求函数
f
(
t
)
=
s
i
n
t
t
f(t)=\frac{sint}{t}
f ( t ) = t s i n t ，当式中s取一些确定的数，可以用来求一些函数的反常积分（广义积分（也就高数上考的最多的积分））
像函数的积分：
∫
s
∞
F
(
s
)
d
s
=
L
[
f
(
t
)
t
]
\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}]
∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ t f ( t ) ]
∫
s
∞
d
s
∫
s
∞
d
s
⋅
⋅
⋅
∫
s
∞
F
(
s
)
d
s
=
L
[
f
(
t
)
t
n
]
\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\,···\,\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]
∫ s ∞ d s ∫ s ∞ d s ⋅ ⋅ ⋅ ∫ s ∞ F ( s ) d s = L [ t n f ( t ) ]
应用：s取一些特殊值时，拉氏变换也可以用来求一些函数的反常积分
例
∫
0
+
∞
sin
t
t
d
t
\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t} dt
∫ 0 + ∞ t sin t d t
即求s = 0时，函数
f
(
t
)
=
s
i
n
t
t
f(t)=\frac{sint}{t}
f ( t ) = t s i n t
已知
sin
t
的
像
函
数
为
\sin t的像函数为
sin t 的 像 函 数 为
F
[
s
]
=
L
[
s
i
n
t
]
=
1
1
+
s
2
F[s]=\mathscr{L}[sint]=\frac{1}{1+s^2}
F [ s ] = L [ s i n t ] = 1 + s 2 1
由像函数的积分得
L
[
s
i
n
t
t
]
=
∫
s
+
∞
1
1
+
s
2
d
s
=
a
r
c
cot
s
\mathscr{L}[\frac{sint}{t}]=\int_s^{+\infty}\frac{1}{1+s^2}ds= arc\cot s
L [ t s i n t ] = ∫ s + ∞ 1 + s 2 1 d s = a r c cot s
2.5 延迟性质与位移性质
L
[
f
(
t
−
τ
)
]
=
e
−
s
τ
F
(
s
)
\mathscr{L}[f(t-τ)]=e^{-sτ}F(s)
L [ f ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s )
L
[
e
a
t
f
(
t
)
]
=
∫
0
+
∞
e
a
t
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
(
s
−
a
)
t
d
t
=
F
(
s
−
a
)
\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)
L [ e a t f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ e a t f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − ( s − a ) t d t = F ( s − a )
应用：顾名思义延迟性质可以用来求
sin
(
t
−
π
2
)
\sin(t-\frac{\pi}{2})
sin ( t − 2 π )
三.
s的虚部越大，振荡频率增长得越快。
附：常见拉普拉斯变换表
References:
