线段树之主席树（POJ-2104）
本文主要介绍静态不带修改的主席树，动态修改的主席树以后有机会补上（还是因为自己太菜了…）
一、主席树入门分析
首先主席树的最经典应用，就是求动态区间的第k小元素/第k大元素。
这类问题又分为两种，一是不允许修改，即本文将要讨论的，一是允许修改的。
前者只需要用到静态的主席树就足够解决，而后者则需要配合树状数组形成动态的主席树来解决。
先来看看如果使用普通的线段树来解决动态区间的第k小元素该如何解决：
如果这个问题的区间是静态的，那么使用一颗普通的权值线段树就可以解决，但是是动态区间的话，我们就需要对要查询的区间 [left, right] 重新建树，然后再进行查询，是不是觉得很麻烦？而且很浪费空间！
而使用主席树的优点在于：
主席树可以保存线段树的历史版本，或者说可以回到之前的操作，而且主席树不需要每次都重新创建一颗全新的线段树，而可以利用之前实现的线段树，在其基础上保留不变的结点，新增改变的结点。
二、图示分析
假设我们需要求序列 {5， 1， 3， 4， 2} 的区间第 k 小元素
那么先建立一棵只有根节点的线段树，如下：
表示数字在 [1, 5] 之中的数量为 0 。
接下来加入第一个元素 5，
可以看到前面这棵只有根节点的树对于这棵树的建立没有任何贡献，继续加入 1，
这里就需要注意了，新的线段树左孩子需要重新创建，但是右孩子没有发生改变，因此就没有必要重新创建了，可以利用上一个线段树，如下：
这里看上去很扭曲，但其实可以认为和普通的线段树的结构是一样的，像这样：
我们再走一步，加入 3，
这样相当于只新建了 3 个结点就创建了一个新的线段树如下：
处理完我们就可以得到 5 棵“不完整的线段树”（第一棵只有根节点的线段树忽略），分别统计数组 [1, i] 中多少元素处于 [1, 5] 这个区间中（注意理解这句话）。
现在我们来考虑区间第 k 小的问题，假设我们要求区间 [2, 4] 中的 k = 2 的元素，区间 [2, 4] 表示的序列为 {1, 3, 4}，显而易见第 2 小的元素为 3，可是我们利用刚刚求的这么多线段树呢？
可以联系前缀和的概念，这里的权值线段树也是满足相减的性质的。
第 4 棵与第 1 棵线段树如下：
首先需要判断这个区间中是否存在第 k 小的元素，两个根节点的值相减 4-1 = 3 >= 2，因此存在第 k 小的元素。
然后我们需要判断第 k 小的元素存在于哪个孩子中，当前的结点是根节点，因此 check 根节点的左孩子，分别为 2 和 0，相减 2-0 = 2 >= 2，因此左区间中一定存在两个元素，那么第 k 小的元素一定存在于左孩子中，重新把左孩子当做根节点递归 check。
此时左孩子 1-0 = 1 < 2，因此右孩子一定存在于右孩子中，将右孩子当做根节点递归 check。
这时候发现我们已经走到了叶子节点，说明已经找到了第 k 小元素，即 3 。
至此，主席树查找一次区间第 k 小元素的过程已经结束，不知道我讲清楚没有…
三、编码实现
要完成上面的工作其实有一点很重要，但是没有说的，就是编码，我们要给每个节点进行编码，这样我们才能完成节点的复用！除此以外，还要另起数组保存每棵线段树的根节点，这样我们才能方便调用每个线段树。
这里给出一道模板题目：
K-th Number POJ - 2104
题目大意：给定长度为 n 的整型序列，以及 m 个询问查询区间第 k 小元素。
sample input：
7 3
1 5 2 6 3 7 4
2 5 3
4 4 1
1 7 3
sample output：
5
6
3
hint：
大数据量，推荐用 scanf 和 printf 。
就是一道裸题，思路跟上面讲得是一样的，主要理解代码是如何组织的。
参考代码：
// 不带修改的主席树模板
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
// arr 保存整型序列，afterSortArr 保存离散化排序过后的整型序列
int arr[maxn], afterSortArr[maxn];
// root 保存每棵线段树根节点的编码
int root[maxn];
// cnt 用于编码
int cnt;
struct Node {
int left, right;
int sum;
// ls 和 rs 分别保存左右孩子的编码
int ls, rs;
} tree[20*maxn]; // 这道题目粗略计算大概 20 倍就可以解决，其他的题目自行估计一下...
// 建树同时编号
void build(int &rt, int l, int r) {
rt = cnt++;
tree[rt].left = l;
tree[rt].right = r;
if(l == r) {
return;
}
int mid = (l+r)/2;
build(tree[rt].ls, l, mid);
build(tree[rt].rs, mid+1, r);
}
// 插入同时编号
void insert(int pre, int &rt, int x) {
rt = cnt++;
// 这里就是复用上一棵线段树 pre 的过程
tree[rt].left = tree[pre].left;
tree[rt].right = tree[pre].right;
tree[rt].ls = tree[pre].ls;
tree[rt].rs = tree[pre].rs;
tree[rt].sum = tree[pre].sum+1;
if(tree[rt].left == tree[rt].right) {
return;
}
int mid = (tree[rt].left+tree[rt].right)/2;
if(x <= mid) insert(tree[pre].ls, tree[rt].ls, x);
else insert(tree[pre].rs, tree[rt].rs, x);
}
// 查询区间第 k 小元素
int query(int pre, int rt, int k) {
if(tree[rt].left == tree[rt].right) {
// 找到了叶子节点说明已经找到了第 k 小元素
return afterSortArr[tree[rt].left];
}
// 判断左孩子的差值与 k 的关系，进而选择递归查询哪个区间
int diff = tree[tree[rt].ls].sum - tree[tree[pre].ls].sum;
if(diff >= k) return query(tree[pre].ls, tree[rt].ls, k);
else return query(tree[pre].rs, tree[rt].rs, k-diff);
}
int main() {
int n, m;
while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &arr[i]);
afterSortArr[i] = arr[i];
}
sort(afterSortArr+1, afterSortArr+1+n);
cnt = 0;
// 先建一棵空树
build(root[0], 1, n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
// 查询离散化过后该数字 a[i] 的位置
int pos = lower_bound(afterSortArr+1, afterSortArr+1+n, arr[i])-afterSortArr;
// 需要使用上一棵线段树与当前需要建立的线段树的编码
insert(root[i-1], root[i], pos);
}
for(int i = 0; i < m; i++) {
int l, r, k;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
// 注意是 l-1
int ans = query(root[l-1], root[r], k);
printf("%d\n", ans);
}
}
return 0;
}
【END】感谢观看！
