0.常见级数列表
https://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series
1.想到或者搜到的证明
1+122+132+142+152+...=π26(704)
推导证明:
sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...(705)
同时,有:
sin(x)=x(1−x2π2)(1−x2(2π)2)(1−x2(3π)2)...(706)
上式满足
x=kπ
时,
sin(x)=0
,并且
x=0
时,
sin′(x)=1
两个式字中的
x3
系数应该相同:
−13!=−1π2−1(2π)2−1(3π)2−...
整理一下,可得:
π26=1+122+132+142+...
几何证明:
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls
其他:
随便取两个正整数,他们互素的概率是
6π2
,
证明:https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI
总结一下就是,使用图中的公式:
这个公式的证明:
还有一种证明方法:
先用几何数列的求和公式,
11−12z11−13z...=1+12z+14z+18z+...=1+13z+19z+127z+...
把式子乘起来,
1(1−12z)(1−13z)(1−15z)...1(1−12z)(1−13z)(1−15z)...=(1+12z+14z+18z+..)(1+13z+19z+127z+...)...=1+12z+13z+14z+15z..
最后一步是因为所有整数都可以写成质数的乘积。
原命题的证明:
任意选两个数,
都不能被2整除的概率
(1−122)
,
都不能被3整除的概率
(1−132)
,
都不能被5整除的概率
(1−152)
,
…
不能同时被任何素数整除的概率
(1−122)(1−132)(1−152)...
https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI
1+124+134+144+154+...=π490(707)
推导证明:
π26π436=1+122+132+142+152+...=1+124+134+144+154+...+2[112×22+112×32+...122×32+122×42+...]
下面两式中
x5
的系数:
sin(x)sin(x)π45!=x−x33!+x55!−x77!+...=x(1−x2π2)(1−x2(2π)2)(1−x2(3π)2)...=112×22+112×32+...122×32+122×42+...
代入,
π436π436−π460π490=1+124+134+144+154+...+2π45!=1+124+134+144+154+...=1+124+134+144+154+...
其他:
感觉用这种方法
1+122n+132n+142n+152n+...
都是可以证明的
1−13+15−17+19−...=π4(5)
推导证明:
====1−13+15−17+19+...∫10(1−x2+x4−x6+x8−...)dx∫1011+x2dxarctan(x)|10π4
几何证明:
https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY
1−12+13−14+15+...=ln(2)(6)
推导证明:
f(x)=ln(x+1)
的泰勒展开
或者
====1−12+13−14+15+...∫10(1−x+x2−x3+x4−...)dx∫1011+xdxln(1+x)|10ln(2)
几何证明:
1+12!+13!+14!+15!+...=e(7)
推导证明:
这个是最简单的,
ex
泰勒展开