1 概述

在一个数字序列中，找到一个最长子序列（可以不连续），使得这个子序列是不下降的

例如：
序列A={1,2,3,-1,-2,7,9}(下标从1开始)，它的最长不下降子序列为{1，2，3，7，9}长度为5，还有一些其他的子序列{1,2,3}和{-2,7,9}等，但都是不最长的。

2 求解

用最原始的办法枚举每种情况，即对每个元素有取和不取两种情况，然后判断序列是否为不下降序列。如果是不下降序列，则更新最大长度，直到枚举完所有情况并得到最大长度。

如果有n个元素 ，时间复杂度将会高到O(2ⁿ)

2.1 动态规划

令dp[i]表示最长不下降序列长度（必须以A[i]结尾），
对于A[i]有两种情况：

• 1 存在A[i]之前的元素A[j] (j<i),使得A[j] <= A[i]且dp[j] +1 > dp[i] (即把A[i]跟在以A[j]结尾的LIS后面，能比当前以A[i]结尾的LIS长度更长)，那么就把A[i]跟在以A[j]结尾的LIS后面，形成一条更长的不降子序列。
• 2 如果A[i]之前的元素都比A[i]大，那么A[i]就只能自己形成一条LIS，但长度为1，即这个子序列里面只有一个A[i]。

最后以A[i]结尾的LIS长度，就是1、2能形成的最大长度。

由此写出状态转移方程：
$dp[i] = max_{ j \in 1,2,...,i -1 并且 A[j] < A[i]} {(1, dp[j] + 1)}$

3 实现代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using std::max;

const int MAXN = 100;
int A[MAXN];
int dp[MAXN];

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &A[i]);
    }

    int ans = -1;//记录最大的dp[i]
    for (int i = 1; i <= n; ++i)//按顺序计算出dp[i]
    {
        dp[i] = 1;//边界
        for (int j = 1; j < i; ++j)
        {
            if(A[j] <= A[i] && (dp[j] + 1 > dp[i])){
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}