扫描线入门

本文的文字部分有些冗长，有些地方讲的也有些枯燥，但是笔者已经尽量让文字不那么晦涩，也加了一些配图，相信坚持看完的读者会有所收获

本文参考：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52048323

矩形面积并

对于矩形 $A,B$，它们的面积并就是 $A \cup B$的面积，多个矩形的情况可以类比一下。有一种想法是拿所有矩形面积之和减去多加了的部分的面积，但是多加的部分并不好求，因为要计算交点，还要知道重复部分到底重复了多少次，那要怎么求矩形面积并呢？我们可以假想有一条与 $x$轴平行的直线，从下往上扫，把面积并分割成多个部分，如下图所示，这样以来面积并就等于各个颜色的部分的面积之和，每个部分的高很容易求，只要把每个矩形的每个横向边(与 $x$轴平行的边)的高度记录一下，排个序，做差就可以，关键在于怎么求每个部分的长度，这时，线段树又出场了(不知道线段树的话，这里是传送门)

图片地址：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52048323

区间信息

既然要用线段树，那线段树存什么？或者说要维护区间信息是什么？我们对横坐标区间建线段树，根节点的区间是 $[x_{min}, x_{max}]$( $x$是 $double$咋整？可以离散化，下面会讲)，即最左端的横坐标到最右端的横坐标，区间信息就是区间内有效的横向长度，这样每次拿高乘×根节点存的有效横向长度就能算出每个部分的面积，再累加就是答案了；那么要怎么维护区间信息呢？我们给每个区间维护一个 $cnt$，即目前该区间被横边覆盖的次数，怎么看这个目前呢？如果插入的是矩形下边界的横边，那被覆盖次数加一；相反，如果是上边界被覆盖次数减一。这样如果一个区间的 $cnt > 0$，说明该区间已经被完全覆盖了，那有效长度就等于区间长度；否则，如果 $cnt == 0$( $cnt$不会小于0，除非你把下边界标记成上边界，上边界标记成下边界)，那该区间的有效长度就是它的左儿子的有效长度加右儿子的(如果是叶子节点有效长度就是0)，咱用下面的图模拟一下：

在模拟之前咱先讲讲，用到的结构体和数组定义，这样方便下文讨论。我们定义一个结构体 $Seg$来表示矩形的**上下边界(即横向边)**以及结构体 $Node$来表示线段树的各个节点；定义 $double$数组 $corx$存横坐标

const int N = 205; // 点数，即横向边的数量的两倍

struct Seg {
    double l, r, h; // 左端点右端点和高度
    int d; // 下边界的d==1，上边界的d==-1，你品，你细品
    Seg() {}
    Seg(double l, double r, double h, int d) : l(l), r(r), h(h), d(d) {}
    inline bool operator < (const Seg& a) { // 用于将上下边界根据高度排序
        return h < a.h;
    }
} seg[N];

struct Node {
    int l, r, cnt; // l和r要用到离散化技巧，之后会讲，cnt区间就是被覆盖次数
    double sum; // 有效长度
} node[N << 2];

double corx[N];

(事先 $seg$数组已经根据 $h$排序)首先，对区间 $[x_1, x_4]$建线段树(这里的 $x$坐标没排序)，扫描线从 $h1$开始，遇到第一个下边界 $x3x4$，并将它插入到线段树中，这时第一部分(下图灰色部分)的面积就等于 $node[1].sum*(seg[2].h - seg[1].h)$；而后，扫描线到达 $h2$，插入 $x1x2$，蓝色部分面积等于 $node[1].sum * (seg[3].h - seg[2].h)$， $h3$类似，到 $h4$时，因为它是上边界，它会将 $[x3,x4]$部分的 $cnt$值减1，然后计算红色部分面积，然后一步步算出总面积

离散化

为啥要离散？

有两点原因：

• 有些题目给的坐标范围可能很大，比如 $1e9$，开数组必爆无疑
• 坐标可能还是 $double$，这样线段树不太好建立，想象一下区间端点是 $double$型的线段树的叶子是个啥~~(反正以笔者的水平是捣鼓不出来的)~~

怎么离散

我们可以不拿横坐标的值来当区间，而拿横坐标是从左往右的第几个来当区间，看图

这样线段树的根节点的区间就缩小到 $[1,N]$了，可以存得下了，下面问题又来了，插入时怎么插？之前区间端点直接插入就得了，现在离散了咋整？因为我们已经对横坐标们排序，那我们用每条 $seg$的左右端点的值通过 $lowerbound$就能找到对应的下标，这下就能快速插入了

亿点细节

心急的同学可能早就去看板子了(因为大家都会了)，然而可能会有一些看不懂的奇怪细节：

• 上文说道如果一个区间的 $cnt>0$，那该区间的有效长度就是区间长度，但是现在离散化了，不能直接区间长度了，应该是坐标值之差
• 为啥板子71行 $x$不减1， $y$减1？为啥 $update$里 $node[k].r$要加1，而 $node[k].l$不加1？显然这两者是互相对应的，**以下是笔者自己的见解，可能有错误，仅供参考：**我们可以考虑一下，线段树的叶子节点，比如 $node[k].l == node[k].r == 1$时，它的区间信息 $sum$到底代表着什么，它应该代表的是从1开始，长度为1单位长度的区间内被覆盖的情况，那么从叶子节点向上， $node[k']$的区间信息 $sum$代表的是从端点$\ l\ $开始，到端点$\ r\ $后，**再往右1单位长度**的这样区间的有效长度，所以$y $要减1，不然插入的区间就变成了$[x, y + 1] $了；而$update $函数中的$node[k].r + 1 $也解释得清楚了，但是读者们又要问了：那$update $里的$else \ if $那一行不应该是$node[k].sum = 1 $吗？毕竟叶子节点代表的区间长度是1啊！叶子节点的区间长度确实是1，但是我们看上一句$if $的条件，只有在$cnt == 0 $时，才有可能执行$else \ if $的语句，也就是说这时该区间的被覆盖次数为0，自然$sum=0$而不是 $1$，初始化的时候也一样，区间被覆盖次数为 $0$，自然 $sum = 0$

void update(int k) {
    if(node[k].cnt) node[k].sum = corx[node[k].r + 1] - corx[node[k].l]; // 区间被完全覆盖
    else if(node[k].l == node[k].r) node[k].sum = 0; // 叶子
    else node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}

71行：x = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].l) - corx;
        	  y = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].r) - corx - 1;

照笔者这么说的话，线段树区间 $[1, N-1]$就够了，在HDU上确实也 $AC$了(只测了下面的板子题)，然而并不能说笔者的说法是正确的，毕竟仅仅测试了无数测试数据中的寥寥几组，仅作为一个参考

板子

板子题 HDU 1542 Atlantis

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ls (k << 1)
#define rs (ls | 1)
const int N = 205;

struct Seg {
    double l, r, h;
    int d;
    Seg() {}
    Seg(double l, double r, double h, int d) : l(l), r(r), h(h), d(d) {}
    bool operator < (const Seg &a) const {
        return h < a.h;
    }
}seg[N];

struct Node {
    int l, r, cnt;
    double sum;
}node[N << 2];

int n, x, y, d;
double corx[N];

void build(int l, int r, int k) { // 建树
    node[k].l = l; node[k].r = r; node[k].cnt = node[k].sum = 0;
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(l, mid, ls);
    build(mid + 1, r, rs);
}

void update(int k) {
    if(node[k].cnt) node[k].sum = corx[node[k].r + 1] - corx[node[k].l]; // 区间被完全覆盖
    else if(node[k].l == node[k].r) node[k].sum = 0; // 叶子
    else node[k].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}

void work(int k) { // 插入
    if(node[k].l >= x && node[k].r <= y) {
        node[k].cnt += d;
        update(k);
        return ;
    }
    int mid = (node[k].l + node[k].r) >> 1;
    if(x <= mid) work(ls);
    if(y > mid) work(rs);
    update(k);
}

int main() {
    int kase = 0;
    while(~scanf("%d", &n)) {
        if(!n) break;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            double x1, x2, y1, y2;
            scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
            corx[i] = x1; corx[n + i] = x2;
            seg[i] = Seg(x1, x2, y1, 1);
            seg[i + n] = Seg(x1, x2, y2, -1);
        }
        n <<= 1;
        std::sort(corx + 1, corx + n + 1);
        std::sort(seg + 1, seg + n + 1);
        int sz = std::unique(corx + 1, corx + n + 1) - corx - 1; // 去重
        double ans = 0;
        build(1, sz, 1);
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            x = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].l) - corx;
            y = std::lower_bound(corx + 1, corx + sz + 1, seg[i].r) - corx - 1;
            d = seg[i].d;
            work(1);
            ans += (seg[i + 1].h - seg[i].h) * node[1].sum;
        }
        printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2f\n\n", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}

例题

• HDU 1828 Picture

  这题是求矩形并后的图形的周长，也是扫描线，之后专门再发一篇讲怎么算周长吧

暂时还没做多少例题~~(就是没做，之后再补点题，咕咕)~~