动态规划初步—子序列问题,本文包括:最大连续子序列和,最大(长)上升子序列,最大(长)公共子序列
1.最大连续子序列和
找出一维数组中和最大的连续子序列,状态转移方程如下:
例题:HDU 1003-Max Sum(最大连续子序列和)
注:此题由于要输出和最大序列的起始位置和终止位置,形式与上列公式有所出入。但思想一致。
代码示例:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 100005
int ar[MAX];
int start[MAX],sum[MAX];
int Fun(int ar[],int n)
{
int end=0;
sum[0]=ar[0],start[0]=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
if(sum[i-1]>=0)
{
sum[i]=sum[i-1]+ar[i];
start[i]=start[i-1];
}
else
{
sum[i]=ar[i];
start[i]=i;
}
if(sum[i]>sum[end]) end=i;
}
return end;
}
int main()
{
int t,n;
cin>>t;
int k=1;
while(t--)
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++) cin>>ar[i];
int ans=Fun(ar,n);
cout<<"Case "<<k++<<":" <<endl;
cout<<sum[ans]<<" "<<start[ans]+1<<" "<<ans+1<<endl;
if(t!=0) cout<<endl;
}
return 0;
}
2.最大上升子序列(LIS)
找出数组中最长的严格升序序列(可以不连续),状态转移方程如下:
例题:POJ 2533-Longest Ordered Subsequence(最大上升子序列)
代码示例:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int ar[1005],dp[1005];
int LIS(int ar[],int n) //最长上升子序列长
{
int ans=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
if(ar[j]<ar[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
ans=max(ans,dp[i]);
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>ar[i];
int ans=LIS(ar,n);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
3.最大公共子序列(LCS)
两个字符串中最长的公共子序列(可以不连续),状态转移方程如下:
例题:POJ 1458-Common Subsequence(最大公共子序列)
代码示例:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 1001
int dp[MAX][MAX];
int LCS(char s1[],char s2[]) //最长公共子序列长
{
int len1,len2;
len1=strlen(s1);
len2=strlen(s2);
for(int i=1;i<=len1;i++)
{
for(int j=1;j<=len2;j++)
{
if(s1[i-1]==s2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
return dp[len1][len2];
}
int main()
{
char s1[MAX],s2[MAX];
while(cin>>s1>>s2)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
int ans=LCS(s1,s2);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}