3209: 花神的数论题
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Description
背景
众所周知,花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ,花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。
Input
一个正整数 N。
Output
一个数,答案模 10000007 的值。
Sample Input
样例输入一
3
Sample Output
样例输出一
2
HINT
对于样例一,1*1*2=2;
数据范围与约定
对于 100% 的数据,N≤10^15
Source
原创 Memphis
一道很水的数学题。
我看了下大佬们写的题解,全都是用数位dp做的,难道只有我把这道题当数学题吗?好吧,看来我还是太弱了。
那我就来讲讲我的思路吧。我们先假设 恰好等于 ,我们会很轻松地得到一个结论
那么如果 呢?我们可以先算出 到 的答案,再算出 到 的答案,以此类推,最后乘起来,后者也并不难算,只要把累乘的数的底数+1就行了,所以我们有了最后的式子:
当 时,
加上预处理组合数和快速幂,时间复杂度: 。
附上代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
long long c[61][61];
const int md=10000007;
long long n;
int ans=1;
int qmul(int x,long long p)
{
if(p==0LL)return 1;
if(p==1LL)return x;
int res=qmul(x,p>>1LL);
res=1LL*res*res%md;
if(p&1LL)res=1LL*res*x%md;
return res;
}
int getphi(int x)
{
int tmp=x;
for(int i=2;i*i<=tmp;i++)
{
if(tmp%i==0)
{
x=x*(i-1)/i;
while(tmp%i==0)tmp/=i;
}
}
if(tmp>1)x=x*(tmp-1)/tmp;
return x;
}
int main()
{
c[0][0]=1;
for(int i=1;i<=60;i++)
{
c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
}
int s=0;
scanf("%lld",&n);
for(int i=60;i>=0;i--)
{
if(n>>(long long)i&1LL)
{
ans=1LL*ans*(s+1)%md;
for(int j=s+1;j<=s+i;j++)
{
ans=1LL*ans*qmul(j,c[i][j-s])%md;
}
s++;
}
}
printf("%d",ans);
return 0;
}