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威尔逊定理

最早由英国的威尔逊爵士提出

一个大于 \(1\) 的自然数为 \(p\) ，则它为质数的充要条件为 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\)

证明：

充分性我们使用反证法：设 \(p\) 是合数，则设其最小质因子为 \(a\)

由于 \(a<p\) 故 \(a\leq p-1\) 因此 \(a\mid (p-1)!\)

所以 \(a\nmid [(p-1)!+1]\)

又因为 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\) 因此 \(p\mid [(p-1)!+1]\)

由 \(a\mid p\) 得出 \(a\mid [(p-1)!+1]\) 矛盾

因此 \(p\) 不为合数

故 \(p\) 为质数

必要性我们这么来考虑：

首先 \(2-1\equiv -1\equiv 1\equiv 1!(\mod 2)\)

对于任意质数 \(p\) 考虑整数 \(n\in[1,p-1]\bigcap Z\) 令 \(n\cdot n\equiv 1(\mod p)\)

解得 \(n\equiv \pm1(\mod p)\)

所以，对于除了 \(1\) 与 \(p-1\) 的所有数，一定存在 \(m\) 使得 \(nm\equiv 1(\mod p)\)

而除了 \(2\) 的所有质数一定为奇数，则剩余的 \((p-3)\) 个数一定两两配对，乘积为 \(1\)

因此 \(\displaystyle (p-1)!\equiv 1\cdot\prod_{i=2}^{p-2}i\cdot (p-1)=1\cdot 1\cdot (-1)\equiv -1(\mod p)\)

费马定理

对于整数 \(p\) ，任意非 \(p\) 倍数的整数 \(a\) ，一定有 \(a^{p-1}\equiv 1(\mod p)\)

考虑到对 \(\forall n<p\)