题目描述
你和你的朋友,两个人一起玩 Nim 游戏:桌子上有一堆石头,每次你们轮流拿掉 1 - 3 块石头。 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。你作为先手。
你们是聪明人,每一步都是最优解。 编写一个函数,来判断你是否可以在给定石头数量的情况下赢得游戏。
示例:
输入: 4
输出: false
解释: 如果堆中有 4 块石头,那么你永远不会赢得比赛;因为无论你拿走 1 块、2 块 还是 3 块石头,最后一块石头总是会被你的朋友拿走。
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思路 1 动态规划
(DP会超时)
这题一眼就是DP啊,每一次只能拿1,2,3个,每一次的结果与上一次有关
状态定义:
dp[i] 表示 先手,剩下i个石头,能否获胜
状态转移:
// 判断自己先手的情况下,有i块能否赢
// 问题变成对面先手,有i-1, i-2, i-3块 能否赢
// 如果三种拿法,有一种能够令对手不赢,自己就赢了
dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);
边界条件
一块,两块,三块的时候,先手可以直接取胜
dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;
代码
因为后台卡时间限制非常紧,即使O(n)复杂度的dp也会超时,下面会有O(1)常数复杂度的脑筋急转弯方法
class Solution {
public:
bool canWinNim(int n)
{
vector<bool> dp(n+1);
dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;
for(int i=4; i<=n; i++)
dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);
return dp[n];
}
};
思路 2 脑筋急转弯
这是一个【巴什博弈】问题,当 n%(m+1) != 0 时可以获胜
如果石头的数目是 4 的倍数,就无法取胜
证明:
已知 n=4 的情况无法取胜,因为无论你怎么拿,都拿不完
- 如果石头的数目 = 4的倍数,无论你拿多少块(你拿了x块),对手拿 4-x 块,就可以使总数目 -4,最终石头的数目会减到4,你输掉
- 如果石头的数目 != 4的倍数,你可以拿 1 或 2 或 3 块石头,使得石堆数目变为4的倍数,然后到对面拿,回到情况1
代码
class Solution {
public:
bool canWinNim(int n)
{
if(n%4==0)
return false;
return true;
}
};